الفاطميات
14-02-2009, 06:30 PM
الفصل الأول :
( 1 – 1 ) ضرب المجموعات :
1 ) أي العبارات التالية صحيحة :
أ ) ( 3 ، 4 ) = ( 4 ، 3 ) ( العبارة خاطئة )
ب ) ( 5 ، 5 ) = ( 6 ، 6 ) ( العبارة خاطئة )
جـ ) سس × صص = صص × سس ( العبارة خاطئة )
د ) ( أ ، ب ) ي سس × صص تعني أن : أ ي سس ، ب ي صص ( العبارة صحيحة )
2 ) حدد قيم س لتكون العبارات التالية صحيحة :
أ ) ( س ، 5 ) = ( 4 ، 5 ) س = 4
ب ) ( س ، س ) = ( 2 ، 2 ) س = 2
جـ ) ( س – 3 ، 6 ) = ( 4 ، 6 ) س – 3 = 4 س = 4 + 3 = 7
3 ) إذا كانت سس = } 2 ، 4 ، 6 { ، صص = } 1 ، 3 ، 5 { فأكمل الفراغات التالية
بوضع أحد الرمزين ي أو يي .
أ ) ( 3 ، 2 ) يي سس × صص
ب ) ( 4 ، 6 ) ي سس × سس
جـ ) ( 6 ، 5 ) ي سس × صص
د ) ( 5 ، 5 ) يي سس × سس
هـ ) ( 1 ، 6 ) ي صص × سس
و ) ( 1 ، 3 ) ي صص × صص
4 ) إذا كانت سس = } أ ، ب ، جـ ، د ، هـ { ، صص = } 1 ، 2 ، 3 { ، فأوجد عدد عناصر كلاً من :
سس × صص = 5 × 3 = 15 عنصر صص × سس = 3 × 5 = 15 عنصر
سس × سس = 5 × 5 = 25عنصر صص × صص = 3 × 3 = 9 عناصر
5 ) إذا كانت سس = } 2 ، 5 ، 9 { ، صص = } 2 ، 8 { فأكتب بذكر جميع العناصر المجموعات التالية :
سس × صص = }(2،2) ، (2،8) ، (2،5) ، (8،5) ، (2،9) ، (8،9) {
صص × سس = } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 5 ) ، ( 2 ، 9 ) ، ( 8 ، 2 ) ، ( 8 ، 5 ) ، ( 8 ، 9 ) {
صص × صص = } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 8 ) ، ( 8 ، 2 ) ، ( 8 ، 8 ) {
( سس ط صص ) × صص = } 2 { × } 2 ، 8 { = } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 8 ) {
سس × ( سس حح صص ) = } 2 ، 5 ، 9 { × } 2 ، 5 ، 9 ، 8 {
= } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 5 ) ، ( 2 ، 9 ) ، ( 2 ، 8 ) ، ( 5 ، 2 ) ، ( 5 ، 5 )
، ( 5 ، 9 ) ، ( 5 ، 8 ) ، ( 9 ، 2 ) ، ( 9 ، 5 ) ، ( 9 ، 9 ) ، ( 9 ، 8 ) {
( صص × سس ) ط ( صص × صص ) = } ( 2 ، 2 ) ، ( 8 ، 2 ) {
( 1 – 2 ) العلاقات وتمثيلها :
1 ) في كلاً من العلاقات التالية حدد المجال والمجال المقابل والمدى واكتب بيان العلاقة :
سس صص
ع ل
صص
× × ×
سس
2 ) سس = } أحمد ، سامي ، بشار ، بلال ، فيصل { ، صص = } ألبانيا ، باكستان ، تركيا ، سوريا {
حددنا علاقة بين سس و صص والتي قاعدتها " يبدأ بالحرف نفسه "
أ ) أكتب بيان العلاقة
البيان = } ( أحمد ، ألبانيا ) ، ( سامي ، سوريا ) ، ( بشار ، باكستان ) ،( بلال ، باكستان ) {
ب ) مثل العلاقة بواسطة الرسم السهمي وشبكة التربيع .
شبكة التربيع صص سس الرسم السهمي صص
سس
3 ) اكتبي قاعدة العلاقات الممثلة على الرسوم التالية :
أ ) " حرف من حروف الكلمة "
ب ) " ... نصف ... " أو " ص = 2س "
جـ ) " ... أكبر من ... "
د ) " ... أصغر من ... "
4 ) سس = } 5 ، 8 ، 10 ، 11 ، 16 { ، صص = } 9 ، 10 ، 15 ، 16 ، 20 ، 25 ، 32 {
أ ) أكتب بيان العلاقة بين المجموعتين والتي قاعدتها "... نصف ..."
البيان = } ( 5 ، 10 ) ، ( 8 ، 16 ) ، ( 10 ، 20 ) ، (16 ، 32 ) {
ب ) مثل العلاقة بالرسم السهمي .
سس صص
جـ ) اكتبي مدى العلاقة .
المدى = } 10 ، 16 ، 20 ، 32 {
5 ) عرفنا العلاقة بين مجموعة الأعداد الحقيقية ك ونفسها بالأزواج المرتبة ( أ ، ب ) حيث :
ب = 3 أ ، أكتب أول عشرة أزواج مرتبة من بيان هذه العلاقة .
البيان = } ( 0 ، 0 ) ، ( 1 ، 3 ) ، ( 2 ، 6 ) ، ( 3 ، 9 ) ، ( 4 ، 12 ) ،
( 5 ، 15 ) ، ( 6 ، 18 ) ، ( 7 ، 21 ) ، ( 8 ، 24 ) ، ( 9 ، 27 ) {
6 ) سس = } 3 ، 5 ، 7 ، 9 { ، صص = } 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40 ، 45 {
عرفنا علاقة ع بين سس و صص بيانها : } ( 3 ، 15 ) ، ( 5 ، 25 ) ، ( 7 ، 35 ) ، ( 9 ، 45 ) {
أ ) ما مدى العلاقة ع ؟
المدى = } 15 ، 25 ، 35 ، 45 {
ب ) أكتب قاعدة العلاقة ع .
ص = 5 س
7 ) سس = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 { ، صص = } -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 {
عرفنا علاقة ع بين سس و صص قاعدتها : ص = 2س – 5 ، مثل هذه العلاقة بالرسم السهمي
سس صص
8 ) إذا كانت : سس = } 3 ، 4 ، 5 ، 10 ، 31 { ، صص = } 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9 ، 19 ، 52 { حددنا
علاقة ع بين سس و صص بيانها مجموعة الأزواج المرتبة : ( أ ، ب ) أ ي سس ، ب ي صص ، ب = 2أ – 1 .
أ ) اكتبي بيان العلاقة ع .
البيان = } ( 3 ، 5 ) ، ( 4 ، 7 ) ، ( 5 ، 9 ) ، ( 10 ، 19 ) {
ب ) مثلي ع بواسطة شبكة التربيع . صص
سس
جـ ) ما قيمة س إذا كان : ( س ، 9 ) أحد الأزواج المرتبة في بيان العلاقة ع .
ب = 2 أ – 1 تت 9 = 2 س – 1 تت 2 س = 9 + 1 تت 2 س = 10 تت س = 5
( 1 – 3 ) التطبيق :
1 ) فيما يلي أنقل الرسوم السهمية إلى شبكات تربيع والعكس ثم بين أياً منها يحدد تطبيق من سس إلى صص .
أ ) " تمثل تطبيق " صص ب ) " لا تمثل تطبيق " صص
سس سس
جـ ) " تمثل تطبيق " د ) " لا تمثل تطبيق "
سس صص سس صص
2 ) إذا كانت : سس = } الطائف ، بيروت ، الإسكندرية ، حلب{ ،
صص = } لبنان ، مصر ، السعودية ، سوريا ، الكويت { مثل بواسطة الرسم السهمي العلاقة
بين المجموعتين والتي قاعدتها " ... مدينة في ... " ، وأثبت أنها تمثل تطبيق
سس صص
العلاقة تمثل تطبيق
لأنه أنطلق من كل عنصر في المجال
سهم واحد فقط في التمثيل السهمي للعلاقة
3 ) إذا كانت : سس = } 1 ، 2 ، 3 ، 4{ ، ص = } 15 ، 92 ، 66 ، 34 ، 43 { مثل بواسطة
الرسم السهمي وشبكة التربيع العلاقة بين المجموعتين والتي قاعدتها " ... رقم من أرقام العدد ... "
هل العلاقة تمثل تطبيق ؟ ولماذا ؟
سس صص صص
صص
العلاقة لا تمثل تطبيق لأنه أنطلق من بعض العناصر في المجال ( 3 ، 4 ) أكثر من سهم في
التمثيل السهمي للعلاقة.
4 ) إذا كانت : سس = } ∆ ، □ ، ○ { ، ص = } 1 ، 2 { مثل بواسطة الرسم السهمي
ثلاث تطبيقات من سس إلى صص .
سس صص سس صص سس صص
5 ) إذا كان الشكل أدناه يمثل التطبيق ت : سس تت صص وَ ق : سس تت صص فأكمل الجدول التالي :
س 1 2 3 4
ت (س) أ ب جـ جـ
ق (س) أ ب جـ ب
6 ) إذا كانت : سس = } 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6{ ، ص = } 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 { ت : سس تت صص
حيث أن : ت ( س ) = س – 2 ، لأي س ي سس .
أ ) مثل بواسطة الرسم السهمي وشبكة التربيع العلاقة ت .
سس صص صص
سس
ب ) أذكر لماذا تكون ت تطبيقاً .
لأنه أنطلق من كل عنصر في المجال سهم واحد فقط في التمثيل السهمي للعلاقة .
جـ ) ما مدى ت ؟
المدى = } 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 {
7 ) الرسم السهمي المقابل يمثل علاقة ع بين سس وَ صص . أذكر لماذا لا يمثل ع تطبيقاً ؟
لا تمثل تطبيق لأنه أنطلق من العنصر 4 في المجال أكثر من سهم ( سهمين ) .
8 ) سس = }1 ، 2 ، 3 ، 4{ ، ص = } 2 ، 5 ، 7 ، 8 ، 11 { ت : سس تت صص
حيث أن : ت ( س ) = 3س – 1 ، لأي س ي سس .
أ ) احسب :
ت (1) = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2
ت (2) = 3(2) – 1 = 6 – 1 = 5
ت (3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8
ت (4) = 3(4) – 1 = 12 – 1 = 11
ب ) مثل بواسطة الرسم السهمي وشبكة التربيع .
سس صص صص
سس
جـ ) أكتب المدى وما علاقته بالمجموعة صص ؟
المدى = } 2 ، 5 ، 8 ، 11 { خ صص
9 ) إذا كانت سس = }ثقيل ، طويل ، كبير ، بعيد{ ، ص = } خفيف ، صغير ، قريب ، قصير {
مثل بواسطة الرسم السهمي العلاقة بين المجموعتين والتي قاعدتها ( ... ضد لـ ... ) .
سس صص
( 1 – 4 ) أنواع التطبيقات :
1 ) حددي نوع كل تطبيق فيما يلي مع ذكر السبب :
أ ) تطبيق تقابل " لأنة وصل إلى كل عنصر في المجال المقابل سهم واحد فقط "
ب ) تطبيق شامل " لأنه وصل إلى كل عنصر في المجال المقابل سهم أو أكثر "
جـ ) تطبيق شامل " لأنه وجد على كل خط أفقي نقطة أو أكثر "
د ) تطبيق متباين " لأنه وجد على كل خط أفقي نقطة أو أقل "
هـ ) تطبيق متباين " لأنه وجد على كل خط أفقي نقطة أو أقل "
2 ) إذا كانت : سس = }1 ، 3 ، 5 ، 7{ ، ص = } 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 10 { ،
الجدول التالي يبين تطبيقاً من سس إلى صص ، حدد نوعه ومداه وقاعدته .
س 1 3 5 7
ت ( س ) 3 5 7 9
سس صص
بعد تمثيل التطبيق بواسطة الرسم السهمي نجد أن :
التطبيق يمثل تطبيق متباين لأنه وصل إلى كل عنصر في المجال المقابل سهم أو أقل .
المدى = } 3 ، 5 ، 7 ، 9 {
القاعدة : ت ( س ) = س + 2
3 ) إذا كانت : سس = }∆ ، □ ، ⌂{ ، ص = } 3 ، 5 ، 4 { ،
أ ) ما هي قاعدة العلاقة ع بين سس وَ صص ، ومثلها بواسطة الرسم السهمي .
قاعدة العلاقة : ( ... عدد أضلاعه ... ) سس صص
ب ) إذا كان ع تطبيقاً فما نوعه وما مداه ؟
نوعه : " تطبيق تقابل "
المدى = } 3 ، 5 ، 4 {
4 ) الجدول التالي يبين تطبيقاً ت من سس إلى صص حيث :
سس = }3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11{ ، ص = } 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 {
س 3 5 7 9 11
ت ( س ) 5 7 9 11 13
أ ) ت (3) = 3 + 2 ، ت (5) = 5 + 2 ، ت (7) = 7 + 2 ،
ت (9) = 9 + 2 ، ت (11) = 11 + 2
ب ) حدد قاعدة للتطبيق ت .
ت (س) = س + 2 سس صص
جـ ) مثل ت بواسطة الرسم السهمي وما نوعه .
نوعه : تطبيق تقابل
5 ) إذا كان ت : ك تت سس حيث سس مجموعة الأعداد الزوجية ، ت(س) = 2س لأي س ي ك
أ ) احسب :
ت (0) = 2(0) = 0 ، ت (15) = 2(15) = 30 ، ت (21) = 2(21) = 42
ب ) احسب س إذا كانت : ت (س) = 40
س = 40 ÷ 2 = 20
جـ ) لماذا ت تطبيقاً من : ك إلى سس ؟
لأنه لكل عدد كلي ي ك يوجد له نظير ي سس يحقق العلاقة : ت(س) = 2س
د ) حدد مدى ت .
المدى = سس مجموعة الأعداد الزوجية .
هـ ) هل ت تقابل ولماذا ؟
نعم تقابل لأنه لكل عدد كلي ي ك يوجد له نظير وحيد ي سس يحقق العلاقة : ت(س) = 2س
6 ) سس = مجموعة الأعداد الفردية الأكبر من 2 والأصغر من 10 ، عرفنا التطبيق ت : سس تت ك
حيث : ت (س) = س + 3 لأي س ي سس .
أ ) حدد مدى ت ، ما نوع هذا التطبيق ؟ ولماذا ؟
سس = } 3 ، 5 ، 7 ، 9 {
ت (3) = 3 + 3 = 6 ، ت (5) = 5 + 3 = 8 ، ت (7) = 7 + 3 = 10 ، ت (9) = 9 + 3 = 12
المدى = } 6 ، 8 ، 10 ، 12 {
نوع التطبيق تباين لأن كل عنصر من ك على علاقة أو أقل مع عناصر سس .
ب ) أوجد س إذا كان : ت (س) ي } 4 ، 6 ، 9 {
ت ( س ) = 4 تت س = 1 ، ت ( س ) = 6 تت س = 3 ، ت ( س ) = 9 تت س = 6
إذاً : س ي } 1 ، 3 ، 6 {
الفصل الثاني :
( 2 – 1 ) مجموعة الأعداد النسبية :
1 ) صل كل عدد نسبي في المجموعة ( أ ) بما يساويه من أعداد نسبية في المجموعة ( ب ) .
المجموعة أ - $؛5 ^؛8 _؛- ؛#5؛ $؛- ؛ ؛9
المجموعة ب )؛2 1 _ ؛9$؛ - *؛0 1؛ )؛5 1؛ - *؛5
2 ) أوجد الأعداد النسبية التي تحقق :
أ ) -4 س = -9 تت _- ؛$4؛ س = _- ؛)4؛ تت س = )؛4
( في كل مرة نرتب المعادلة ثم نقسم على معامل س لإيجاد قيمة س )
ب ) 3س – س = 70 تت 2س = 70 تت س = 35
جـ ) 2س + 1 = س – 5 تت 2س – س = -5 -1 تت س = -6
د ) س + 4 = 4 تت س = 4 – 4 تت س = 0
هـ ) -8 = 4س تت س = - 2
و ) 5 + س = 3س – 4 تت س – 3س = -4 -5 تت -2س = -9 تت س = )؛2
3 ) أوجد العدد الصحيح الذي يحقق كلاً من :
أ ) %؛8!1؛ = ؛س- ؛ 6؛ ( بضرب طرفين في وسطين ) 18 س = - 90 تت س = - 5
ب ) _؛ ؛سس^؛ = @؛5 تت 2س = -30 تت س = - 15
جـ ) -؛س؛ ؛5 = ^5؛ 1؛ تت 15 س = - 30 تت س = - 2
د ) س؛8 = 16 تت س = 128
4 ) أوجدي الأعداد النسبية المتساوية التي نتجت عنها المساواة فيما يلي :
أ ) 3 × 12 = 4 × 9 تت $؛3 = @؛9!؛
ب ) 3 × ( -4 ) = 6 × ( -2 ) تت ^؛3 = _-؛ ؛$2؛
جـ ) -2 × 10 = -5 × 4 تت _-؛ ؛%؛2 = (؛!4؛
5 ) أوجد العدد الصحيح ب فيما يلي :
أ ) ؛-*؛2 1؛ = ب؛ -؛ +؛8 1؛%؛ تت -12( ب + 5 ) = 8 × - 18 تت -12 ب – 60 = - 144
تت -12 ب = -144 + 60 تت -12 ب = - 84 تت ب = 7
ب ) ^؛8 = ب؛ ؛+2؛ 1؛!؛!؛ تت 8 ( ب + 11 ) = 6 × 12 تت 8ب + 88 = 72
تت 8 ب = 72 – 88 تت 8 ب = - 16 تت ب = - 2
جـ ) ب؛_؛6 ؛%؛ = ^؛4 تت 4 ( ب – 5 ) = 6 × 6 تت 4 ب – 20 = 36
تت 4 ب = 36 + 20 تت 4 ب = 56 تت ب = 14
6 ) عين فيما يلي الأعداد النسبية المبسطة بأبسط شكل وبسط الأعداد الأخرى .
- #؛7 ( في أبسط شكل ممكن )
%؛5!؛7 ؛ ( بقسمة البسط والمقام على 15 ) = !؛5
*0؛ 0؛ 1؛ = ( بقسمة البسط والمقام على 4 ) = @5؛ 2؛
^-؛ 1؛1 1؛ ( في أبسط شكل ممكن )
)-؛ ؛ 9؛1 1؛ ( في أبسط شكل ممكن )
_5؛ ؛$0؛$1؛ ( في أبسط شكل ممكن )
( 2 – 2 ) ضرب الأعداد النسبية وقسمتها :
1 ) املأ الفراغات بما يناسبها :
أ ) – 6 × &-؛ ؛6 = @؛؛6$؛ = 7 ب ) -3 × _- ؛@3؛ = -2 جـ ) -5 × #-؛ ؛5 = 3
د ) 7 × _ ؛!7؛ = -1 هـ ) 4 × _ ؛%4؛ = -5 و ) ا × ب؛أ = ب
2 ) تمم عمليات الضرب التالية ، وبسط الناتج .
أ ) %؛7 × _ 0؛$2؛!؛ = - (؛0&4؛ 1؛ = - !؛2 هـ ) $-؛ 7؛ × _؛%8؛ × *؛0 ؛1 = (؛0^6؛!5؛ = @؛7
ب ) *؛9^؛ × !7؛*1؛ = *؛(؛3%5؛%1؛ = @؛7!؛1^؛ = 36 و ) !-؛@5؛ 1؛ × _ ؛%9؛ × #؛7 = %؛5!4؛#9؛ = !؛3
جـ ) -6 × _ ؛%6؛ = 5 ز ) -1 × #؛5 = - #؛5
د ) $؛7 × &؛4 = 1 ح ) _5 ؛1$؛ × _ ؛%4؛ 2 = _5 ؛1$؛ × _ ؛#4؛!؛ = @؛0%؛6 = #؛5!1؛
3 ) أوجد المعكوس الضربي لكلاً مما يلي :
العدد @-؛ ؛ 5؛ _ ؛$6؛ @؛1!1؛ -9 س س ص ن/- ر ن/ ر × 1/ ر
معكوسة الضربي _ ؛%2؛ -^؛4 !2؛!1؛ -!؛9 ! ؛سس ؛!سس؛ ؛ صص - ر/ن ر/ ن × ر
4 ) احسب قيمة س إذا كان كلاً مما يأتي مؤلف من عددين متعاكسين في الضرب :
أ ) %2؛ ؛ ؛ سس وَ _ ^؛5 تت 2س × 5 = - 6 × 5 تت 10س = - 30 تت س = - 3
ب ) س3؛ وَ _@2؛ 1؛ تت -2 × س = 3 × 12 تت -2 س = 36 تت س = - 18
جـ ) @؛5 3 وَ %؛4$3؛ ؛ ؛س؛ تت &5؛!؛ وَ %؛4$3؛ ؛ ؛س؛ تت 45س × 17 = 5 × 34
تت 765س = 170 تت س = $3؛#5؛ ؛1 = @9؛
5 ) تمم عمليات القسمة التالية بأبسط شكل :
أ ) $5؛ 1؛ ÷ _- ؛*3؛ = $5؛ 1؛ × _- ؛#8؛ = @0؛!2؛ 1؛ = !0؛ 1؛
ب ) _ ؛*؛7 1؛ ÷ _)؛1 ؛5 = _؛*؛7 ؛1 × _!؛9%؛ = *؛3(5؛$1؛ = ^؛1#؛5!؛ = *3؛
جـ ) )؛2 ÷ 7 = )؛2 × !؛7 = )4؛ 1؛
د ) 4 ÷ *؛7 = 4 × &؛8 = *؛8@؛ = &؛2
هـ ) 1 ÷ _$؛5 = 1 × -%؛ ؛4 = -%؛ ؛4
و ) &؛6@؛1 ÷ )؛8 = &؛6@؛1 × *؛9 = ^؛4!؛4@؛1 = #؛2
6 ) يتلو طالب خمسة أجزاء من القرآن الكريم خلال %؛2 ساعة ، كم يلزمه من الوقت لختم القرآن الكريم ؟
القرآن يتكون من 30 جزء ، 30 ÷ 5 = 6 × %2؛ = (؛#2؛ = 15 ساعة
7 ) من وحدات الكيل الإسلامية الصاع ،( الصاع = 4 أمداد ، الصاع = &؛2 لتر تقريباً ) حول ما يلي :
أ ) 3 أصواع إلى أمداد . 3 × 4 = 12 مد .
ب ) 12 مداً إلى أصواع . 12 ÷ 4 = 3 أصواع .
جـ ) 16 صاعاً إلى لترات . 16 × &2؛ = @؛2!؛!؛ = 56 لتر .
د ) 28 لتراً إلى أصواع . 28 ÷ &2؛ = 28 × @؛7 = ^؛7%؛ = 8 أصواع .
8 ) علبة تسع 7 لترات من ماء ، كم صاعاً من الدقيق يمكن وضعة في العلبة ؟
7 ÷ &2؛ = 7 × @؛7 = 2 صاع ( صاعين ) .
9 ) غرفة مستطيلة الشكل مساحتها !؛2 12 م@ ، ما عرض الغرفة إذا كان طولها #؛4 3 م ؟
مساحة المستطيل = الطول × العرض
!؛2 12 = #؛4 3 × العرض تت %؛@2؛ = %؛!4؛ العرض تت %؛@2؛ × $5؛ 1؛ = العرض
العرض = (؛0(3؛!؛ = (3؛!؛ = !3؛ 3 م .
( 2 – 3 ) جمع الأعداد النسبية وطرحها :
1 ) أوجد ناتج كلاً مما يأتي بأبسط صورة :
أ ) &5؛ 1؛ + _)5؛ 1؛ = _ 5؛@1؛ ب ) %4؛ 1؛ + @؛7 = %؛4 1؛ + @7؛ خ؛؛خخ@2؛ = %4؛ 1؛ + $4؛ 1؛ = )؛4 1؛
جـ ) - &؛2 1؛ + #؛4 = - &؛2 1؛ + )؛2 1؛ = @؛2 1؛ = !؛6 د ) !؛4 + 8= !؛4 + *؛1 = !؛4 + @؛#؛4 = #؛#؛4
هـ ) $؛7 + (- #؛5 ) = (؛5@؛3 + - !5؛@3؛ = - !5؛ ؛3 و) - %؛6 + (- #8؛ )= - (؛4@؛2 +(- )؛4 2؛)= - )؛4@؛2
ز ) &؛2 ؛1 + *؛5 ؛1 = %؛0#؛6 + @؛0#؛6 = &0؛^6؛ ح ) *7؛ 1؛ + (-3) = *7؛ 1؛ + _#1؛ = *7؛ 1؛ + _!7؛%1؛ = _#7؛$1؛
2 ) اجمع الأعداد النسبية التالية بتوحيد مقاماتها وبسط ناتج الجمع :
أ ) %؛8 + ( - #4؛ ) + #6؛!؛ (نبحث عن المعامل المشترك الأصغر بين المقامات فنجد أنه 24 نوحد المقامات على 24)
= %8؛خ خخ؛#3؛ + ( - #4؛خ خخ؛^6؛ ) + #6؛!؛خ خخ؛$4؛ = %؛!؛+؛ ؛_؛*؛4!2؛+؛ ؛@؛%؛ = )4؛$؛2
ب ) ( _#؛7 ) + ( - !؛6 ) + @؛5 ( المعامل المشترك الأصغر بين المقامات هو 210 )
= _#؛7خ خخ؛(؛0#3؛ + - !6؛خ خخ؛%5؛#3؛ + @؛5خ خخ؛@2؛$4؛ = _(0؛)1؛ 2؛ + - %0؛#1؛ 2؛ + $0؛*1؛ 2؛ = - !0؛$1؛ 2؛
جـ ) %؛9 + &8؛ 1؛ + @7؛@2؛ ( المعامل المشترك الأصغر بين المقامات هو 54 )
= %9؛خ خخ؛^6؛ + &8؛ 1؛خ خخ؛#3؛ + @7؛@2؛خ خخ؛@2؛ = (4؛#5؛ + !4؛@5؛ + $4؛$5؛ = %4؛)5؛
3 ) ما هو المعكوس الجمعي لكلاً من الأعداد التالية :
العدد _-#؛7 _ ؛$6؛ -^1؛ 1؛ *7؛!1؛ - $؛5 0 5 - 8
معكوسة الجمعي - #؛7 $؛6 ^1؛ 1؛ - *7؛!1؛ $؛5 0 - 5 8
4 ) أوجد ناتج الطرح في كلاً مما يلي :
أ ) !؛2 – (- #؛4 ) = !؛2 + #؛4 = @؛4 + #؛4 = %؛4
ب ) _&1؛ 1؛ - _)2؛ 1؛ = _&1؛ 1؛ + )2؛ 1؛ = _$2؛*3؛ 1؛ + )2؛)3؛ 1؛ = %2؛!3؛ 1؛ = %4؛ 4؛
جـ ) %4؛ 2؛ - &6؛ 1؛ = %4؛ 2؛ + _؛&6؛ 1؛ = (8؛!4؛ + _؛!8؛@4؛ = _؛!8؛!4؛
د ) _#؛4 - _^؛5 = _%0؛!2؛ + $0؛@2؛ = )0؛ 2؛
هـ ) &؛9 - (- !؛2 ) = $8؛!1؛ + )8؛ 1؛ = #8؛@1؛
و ) -#؛4 - -@؛3 = -#؛4 + @؛3 = -)2؛ 1؛ + *2؛ 1؛ = - !؛2 1؛
5 ) أوجد ناتج كلاً مما يأتي :
أ ) $؛9 + _@؛9 = ( $؛9 + _@؛9 ) ÷ 2 = @؛9 ÷ 2 = @؛9 × !؛2 = @8؛ 1؛ = !؛9
@
ب ) !؛2 + #؛4 = ( !؛2 + #؛4 ) ÷ ( @؛3 - $؛5 ) = ( @؛4 + #؛4 ) ÷ ( (5؛!1؛ - @5؛!1؛ )
@؛3 - $؛5
= %؛4 ÷ - @5؛ 1؛ = %؛4 × - %2؛!؛ = - %8؛&؛
جـ ) _!؛2 - -#؛4 = ( _!؛2 - -#؛4 ) ÷ ( -@؛3 - _$؛5 ) = ( _@؛4 + #؛4 ) ÷ ( -(5؛!1؛ + @5؛!1؛ )
- @؛3 - _$؛5
= !؛4 ÷ @5؛ 1؛ = !؛4 × %2؛!؛ = - %8؛!؛
6 ) إذا كانت س = @؛8 ، فاحسب قيمة كلاً من العبارات التالية :
أ ) س + !؛3 = @؛8 + !؛3 = ^4؛ 2؛ + *4؛ 2؛ = $4؛!2؛ = &2؛ 1؛
ب ) 2س + 1 =2× @؛8 + !؛1 = $؛8 + !؛1 = !2؛ + !1؛ = !2؛ + @2؛ = #2؛
جـ ) 3 – 4س = 3 – 4×@؛8 = 3 – *8؛ = 3 – 1 = 2
7 ) في أحد أيام الشتاء بلغت درجة الحرارة العظمى في تبوك !2؛ 13 ْ ، وبلغت درجة
الحرارة الصغرى - !4؛ 1 ْ ، ما الفرق بين الدرجتين ؟
الفرق بين الدرجتين = !2؛ 13 – (- !4؛ 1) = !2؛ 13 + !4؛ 1 = &2؛@؛ + %4؛ = $4؛%؛ + %4؛ = )4؛%؛ ْ= #4؛ 14 ْ
8 ) يملك خالد وياسر مبلغين متساويين من المال . أنفق خالد %7؛ ما يملك وأنفق ياسر جزءً من ماله
حيث أبقى لدية !؛5 ما يملك . أيهما أنفق أكثر ؟
مقدار ما أنفقة ياسر = 1- !؛5 = %5؛ - !5؛ = $5؛
نقارن بين الكسرين %7؛ ، $5؛
%7؛خ خخ؛%5؛ = %5؛@3؛ < $5؛خ خخ؛&7؛ = *5؛@3؛
إ مقدار ما أنفقة ياسر أكثر من مقدار ما أنفقه خالد .
( 2 – 4 ) مقارنة الأعداد النسبية وتمثيلها على خط الأعداد :
1 ) قارن بين كل عددين فيما يلي :
أ ) &2؛ 1؛ ، #؛4 تت &2؛ 1؛ آ~ #؛4خ خخ؛#3؛ = )2؛ 1؛
ب ) _%6؛ ، - )1؛ 1؛ تت _%6؛خ خخ؛!1؛!1؛ = - %6؛%6؛ آ~ - )1؛ 1؛خ خخ؛^6؛ = - $6؛%6؛
جـ ) -_ ؛%3؛ ، - %3؛ تت -_ ؛%3؛ = %3؛ ى~ - %3؛
د ) #؛7 1 ، (؛4@1؛ تت (7؛!؛ =~ (؛4@1؛ = (7؛!؛
هـ ) #؛8 2 ، %0؛!4؛ تت )8؛!؛ ى~ %0؛!4؛ = #؛8
و ) )8؛ ، *9؛ تت )8؛خ خخ؛)9؛ = !2؛*7؛ ى~ *9؛خ خخ؛*8؛ = $2؛^7؛
2 ) رتب الأعداد التالية في كلاً مما يلي تصاعدياً .
أ ) %؛6 ، !2؛ ، - &2؛ 1؛ ، - *9؛ ( نقارن بين الأعداد السالبة على حده والموجبة على حده ثم نرتبها تصاعدياً ابتداء بالسالبة الأقل )
- &2؛ 1؛خ خخ؛#3؛ = - !6؛@3؛ ى~ - *9؛خ خخ؛$4؛ = - @6؛#3 ، %؛6 ى~ !2؛خ خخ؛#3؛ = #6؛
الترتيب تصاعدياً : - *9؛ ، - &2؛ 1؛ ، !2؛ ، %6؛
3 ) فيما يلي تتزايد الأعداد بمقدار ثابت . ما مقدار التزايد ؟ وما هي الأعداد الخمسة التي تليها مباشرة ؟
أ ) - )3؛ 1؛ ، - ^3؛ 1؛ ، - #3؛ 1؛
لإيجاد مقدار التزايد نطرح العدد الأول من الثاني : - ^3؛ 1؛ - (- )3؛ 1؛ ) = - ^3؛ 1؛ + )3؛ 1؛ = #3؛ 1؛
- #3؛ 1 + #3؛ 1؛ = 0 ، 0 + #3؛ 1؛ = #3؛ 1؛ ، #3؛ 1؛ + #3؛ 1؛ = ^3؛ 1؛ ، ^3؛ 1؛ + #3؛ 1؛ = )3؛ 1 ، )3؛ 1+ #3؛ 1؛ = @3؛!1؛
ب ) !؛6 ، !3؛ ، !2؛ مقدار التزايد = !3؛ - !6؛ = @6؛ - !6؛ = !6؛
!؛2 + !6؛ = #6؛ + !6؛ = $؛6 = @3؛ ، @3؛ + !6؛ = $6؛ + !6؛ = %6؛ ، %6؛ + !6 = ^6؛ = 1
1 + !6؛ = ^6؛ + !6؛ = &6؛ ، &6؛ + !6؛ = *6؛ = $3؛
4 ) فيما يلي تتناقص الأعداد بمقدار ثابت.ما مقدار التناقص؟ وما هي الأعداد الخمسة التي تليها مباشرة ؟
أ ) &2؛ 1؛ ، !3؛ ، !2؛ 1؛
مقدار التناقص يساوي حاصل طرح العدد الثاني من الأول = &2؛ 1؛ - !3؛ = &2؛ 1؛ - $2؛ 1؛ = #2؛ 1؛ = !4؛
!2؛ 1؛ - !4؛ = !2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - @2؛ 1؛ = - !6؛ ، - !6؛ - !4؛ = - @2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - %2؛ 1؛
- %2؛ 1؛ - !4؛ = - %2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - *2؛ 1؛ = - @3؛ ، - @3؛ - !4؛ = - *2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - !2؛!1؛
- !2؛!1؛ - !4؛ = - !2؛!1؛ - #2؛ 1؛ = - $2؛!1؛ = - &6؛
5 ) أ ) هات عدداً نسبياً يقع بين العددين !2؛ ، !4؛ ؟
نوحد مقامات الكسرين ومن ثم نوجد عدد يقع بين بسطيهما ونكون منه كسر بنفس المقام المشترك
!2؛ = $؛8 ، !4؛ = @؛8 ( البسطين هما : 4 ، 2 بينهما 3 فيكون الكسر المطلوب ، #؛8 )
ب ) هات أربعة أعداد نسبية تقع بين العددين : - @3؛ ، !4؛
نوحد مقامات الكسرين على 12 فيكون :
- @3؛ = - *2؛ 1؛ ، !4؛ = #2؛ 1؛
بين بسطيهما : - 8 ، 3يوجد مجموعة من الأعداد الصحيحة يكفينا منها أربعة ولتكن: 2 ، 1 ، - 1 ، - 2
نكون منها الكسور المطلوبة كالتالي : @2؛ 1؛ = !6؛ ، !2؛ 1؛ ، - !2؛ 1؛ ، - @2؛ 1؛ = - !6؛
6 ) مثل الأعداد التالية على خط الأعداد :
أ ) !؛4 ، !؛4 2 ، - #4؛ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( 2 – 5 ) تبسيط العبارات العددية :
1 ) هل العبارات التالية صحيحة ؟ تحقق من ذلك .
أ ) ( !2؛ + !4؛ ) × 8 = !2؛ + !4؛ × 8 ( عبارة خاطئة )
الطرف الأيمن : ( !2؛ + !4؛ ) × 8 = ( @4؛ + !4؛ ) × 8 = #4؛ × 8 = $4؛@؛ = 6
الطرف الأيسر : !2؛ + !4؛ × 8 = !2؛ + *4؛ = @4؛ + *4؛ = (4؛!؛ = %2؛ الطرفان غير متساويان
ب ) !3؛ - ( !4؛ × @3؛ ) = !3؛ - !4؛ × @3؛ ( عبارة صحيحة )
الطرف الأيمن : !3؛ - ( !4؛ × @3؛ ) = !3؛ - @2؛ 1؛ = $2؛ 1؛ - @2؛ 1؛ = @2؛ 1؛ = !6؛
الطرف الأيسر : !3؛ - !4؛ × @3؛ = !3؛ - @2؛ 1؛ = $2؛ 1؛ - @2؛ 1؛ = @2؛ 1؛ = !6؛ الطرفان متساويان
2 ) جد المعكوس الجمعي لكلاً من العبارات التالية :
أ ) ( $5؛ + - *5؛ ) معكوسها = - ( $5؛ + - *5؛ ) = ( - $5؛ + *5؛ )
ب ) ( - &6؛ + - #0؛!3؛ ) معكوسها = - ( - &6؛ + - #0؛!3؛ ) = ( &6؛ + #0؛!3؛ )
جـ ) ( !3؛ - - %7؛ ) معكوسها = - ( !3؛ - - %7؛ ) = ( - !3؛ - %7؛ )
د ) ( @5؛ + _$5؛ 1؛ + _*5؛ 2؛ ) معكوسها = - ( @5؛ + _$5؛ 1؛ + _*5؛ 2؛ ) = ( - @5؛ + $5؛ 1؛ + *5؛ 2؛ )
3 ) جد المعكوس الجمعي لكلاً من العبارات التالية :
أ ) ( س – ص + ع ) معكوسها = - ( س – ص + ع ) = ( - س + ص – ع )
ب ) ( س – ص – ع ) معكوسها = - ( س – ص – ع ) = ( - س + ص + ع )
جـ ) – ( - س + ص – ع ) معكوسها = - ( - س + ص – ع ) = ( - س + ص – ع )
4 ) احسب بفك الأقواس كلاً مما يلي :
أ ) – 1+] ( !3؛ - !4؛ ) – ( #2؛ - %4؛ + @3؛ )[ =– 1+] !3؛ - !4؛ - #2؛ + %4؛ - @3؛ [ = -1+ ] - !3؛ + $4؛ - #2؛ [
= -1 + ] - @6؛ - )6؛ + 1 [ = -1- !6؛!؛ + 1 = - !6؛!؛
ب ) #0؛ 1؛ - ] ( @5؛ - !3؛ + *5؛ 1؛ ) + ( - $0؛ 3؛ - &0؛ 6؛ ) [
= #0؛ 1؛ - ] ( ^5؛ 1؛ - %5؛ 1؛ + *5؛ 1؛ ) + ( - *؛0 6؛ - &0؛ 6؛ ) [
= #0؛ 1؛ - ] )5؛ 1؛ - %0؛!6؛ [ = #0؛ 1؛ - ] ^0؛#6؛ - %0؛!6؛ [ = #0؛ 1؛ - ] !؛0@؛6 [ = *0؛!6؛ - !؛0@6؛ = - #0؛ 6؛ = - !0؛ 2؛
جـ ) !2؛ - } !4؛ - ] ( @7؛ + !4؛ ) – ( @7؛ + !2؛ ) [ {
= !2؛ - } !4؛ - ] @7؛ + !4؛ - @7؛ - !2؛ [ { = !2؛ - } !4؛ - ] !4؛؛ - !2؛ [ { = !2؛ - } !4؛ - ] !4؛؛ - @4؛ [ {
= !2؛ - } !4؛ - ] - !4؛؛ [ { = !2؛ - } !4؛ + !4؛؛ { = !2؛ - } @4؛ { = !2؛ - } !2؛ { = !2؛ - !2؛ = 0
د ) 5 – } – 1- ] ( 6 – 9 ) – ( !4؛ + !3؛ ) [ {
= 5 – } -1- ] -3 - !4؛ - !3؛ [ { = 5 – } -1- ] -3 - #2؛ 1؛ - $2؛ 1؛ [ {
=5 – } -1- ] -3 - &2؛ 1؛ [ { =5 – } -1- ] - ^2؛#1؛ - &2؛ 1؛ [ {
= 5 – } -1- ] - #2؛$1؛ [ { = 5 +1- #2؛$1؛ = 6 – #2؛$1؛ = @2؛&1؛ – #2؛$1؛ = )2؛@1؛
5 ) أ ) ما العدد الذي إذا ضُرب في المقدار : @5؛ + _#4؛ ، كان الناتج يساوي !6؛ ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س × (@5؛ + _#4؛ ) = !6؛ تت س × ( *0؛ 2؛ + _%0؛!2؛ ) = !6؛ تت س × _&0؛ 2؛ = !6؛ تت س = !6؛ × -(7؛@؛
تت س = - (1؛!2؛
ب ) ما العدد الذي إذا قُسم على المقدار : ( !3؛ + %6؛ ) × @7؛ ، كان الناتج : - #2؛ ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س ÷ ] ( !3؛ + %6؛ ) × @7؛ [ = - #2؛ تت س ÷ ] ( @؛6 + %6؛ ) × @7؛ [ = - #2؛ تت س ÷ ] &؛6 × @7؛ [ = - #2؛
تت س ÷ ] !3؛ [ = - #2؛ تت س × 3 = - #2؛ تت 3س = - #؛2 تت س = - !2؛
جـ ) ما العدد الذي إذا أُضيف إلى المقدار : ( ^5؛ - @7؛ ) × &8؛ ، كان الناتج 1 ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س + ] ( ^5؛ - @7؛ ) × &8؛ [ = 1 تت س+] ( @5؛$3؛ - (5؛!3؛ ) × &8؛ [ = 1 تت س+] ( @5؛#3؛ ) × &8؛ [ = 1
س+] $؛5 [ = 1 تت س = - $5؛ +1 تت س = !5؛
د ) ما العدد الذي إذا طُرح منه المقدار : ( !2؛ + #7؛ ) ÷ ( !3؛ + _$5؛ ) ، كان الناتج - _#5؛ ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س - ] ( !2؛ + #7؛ ) ÷ ( !3؛ + _$5؛ ) [= - _#5؛ تت س - ] ( &4؛ 1؛ + ^4؛ 1؛ ) ÷ ( %؛5 1؛ + _@5؛!1؛ ) [= - _#5؛
س - ] #4؛!1؛ ÷ _&5؛ 1؛ [= - _#5؛ تت س- ] #4؛!1؛ × _%7؛!؛ [= - _#5؛ تت س+ %8؛)؛9!؛ = - _#5؛
س= - %8؛)؛9!؛ + #؛5 س = - !؛0؛*؛9^؛4
6 ) احسب ما يلي :
أ ) ] ( 1 - !2؛ ) ÷ ( _!5؛ + _@3؛ ) [ × ( #4؛ ÷ #8؛ ) = ] ( @2؛ - !2؛ ) ÷ ( _#5؛ 1؛ + _(5؛!1؛ ) [ × ( #4؛ × *؛3 )
= ] !2؛ ÷ _#5؛!1؛ [ × 2 = ] !2؛ × _%3؛!1؛ [ × 2 = ] _%6؛!2؛ [ × 2 = _%3؛!1؛
ب ) ] 5 × ( @3؛ - $5؛ ) [ ÷ ] )7؛ × ( !3؛ + @5؛ ) [ = ] 5 × ( (5؛!1؛ - @5؛!1؛ ) [ ÷ ] )7؛ × ( %5؛ 1؛ + ^5؛ 1؛ ) [
= ] 5 × - @5؛ 1؛ [ ÷ ] )7؛ × !5؛!1؛ [ = ] - @3؛ [ ÷ ] #5؛#3؛ [ =] - @3؛ [ × ] %3؛#3؛ [ = - (9؛&9؛
جـ ) ( @3؛ - $5؛ - #7؛ ) ÷ ] ( !7؛ + _@5؛ ) × #4؛ [ = ( (5؛&0؛ 1؛ - $5؛*0؛ 1؛ - %5؛$0؛ 1؛ ) ÷ ] ( %5؛ 3؛ + _$5؛!3؛ ) × #4؛ [
= (- )5؛%0؛ 1؛ ) ÷ ] _)5؛ 3؛ × #4؛ [ = (- )5؛%0؛ 1؛ ) ÷ ] _&0؛@4؛ 1؛ [ = (- )5؛%0؛ 1؛ ) × ] _(7؛$2؛!؛ [ =- ^1؛#8؛@؛
( 2 – 6 ) الكتابة العشرية :
1) حدد مسبقاً ( دون قسمة ) فيما يلي الأعداد العشرية والأعداد الدورية مع ذكر السبب .
!2؛@1؛ = &4؛ = &؛2 2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 2@ )
@2؛@1؛ = !6؛!؛ = !؛2!؛؛ خخ؛ 3؛ ( عدد دوري لأن مقامة ليس من قوى العشرة حيث يحتوي على 3)
@5؛$3؛ = ^5؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو: 5)
$5؛@2؛ = $؛5@2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5@)
&8؛&8؛ = &؛8 = &؛2 3 ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 2#)
%8؛$8؛ = %؛1 1؛خ خخ؛)8 ؛ = ( عدد دوري لأن مقامة ليس من قوى العشرة حيث يحتوي على 11)
*5؛$7؛ = ^5؛!2؛ = ^5؛!2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5@)
*5؛#6؛ = @5؛ ؛خ خخ؛)3؛!1؛ ( عدد دوري لأن مقامة ليس من قوى العشرة حيث يحتوي على 13)
@0؛&5؛ = ^5؛#2؛ = ^5؛#2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5@ )
)5؛#6؛ = #؛5 خ؛ خخ؛#3!1؛ = #5؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5 )
2 ) بسطي الأعداد النسبية التالية ثم أضربي حدي كلاً منها بالعدد المناسب كي تتحول إلى أعداد عشرية .
!5؛@7؛ = &5؛ 2؛ = &5؛؛ ؛2؛ ( بضرب البسط والمقام بـ 2@ ) = *0؛@0؛ 1؛ = 0،28
%4؛#1؛ = &7؛ ؛خ خخ؛%2؛ = %2؛ ( بضرب البسط والمقام بـ 5 )= %0؛@1؛ = 2،5
#6؛^3؛ = )9؛ خ؛ خخ؛&؛4؛ = &4؛ = &؛2 2 ( بضرب البسط والمقام بـ 5@ ) = %0؛&0؛!1؛ = 1،75
)6؛$5؛ = &7؛ ؛خ خخ؛&8 ؛ = &8؛ = &؛2 3 ( بضرب البسط والمقام بـ 5# ) = %0؛&0؛*0؛ 1؛ = 0،875
^5؛@6؛ = #3؛!1؛خ خخ؛@5؛ = @؛5 ( بضرب البسط والمقام بـ 2 )= $0؛ 1؛ = 0،4
%8؛!4؛ = #3؛خ خخ؛%6؛ 1؛ = %؛6 1؛ = %2؛ 4 ( بضرب البسط والمقام بـ 5$ ) = %0؛@؛0؛!؛0#؛0 ؛1 =0،3125
4 ) أكتب كلاً من الأعداد العشرية التالية على صورة بسط ومقام وبأبسط شكل ممكن .
0،5 = %0؛ 1؛ = !2؛ 0،25 = %0؛@0؛ 1؛ = !4؛ 0،125 = %0؛@0؛!0؛ 1؛ = !8؛ 0،2 = @0؛ 1؛ = !5؛
0،04 = $0؛ 0؛ 1؛ = !5؛ 2؛ 0،008 = *0؛ 0؛ 0؛ 1؛ = !5؛ 2؛ 1؛ 0،0016 = ^0؛!0؛ 0؛ 0؛ 1؛ = !5؛ 2؛ 6؛
5 ) قرب إلى عدد عشري . ( يتم الحل بقسمة البسط على المقام قسمة مطولة )
أ ) )5؛#2؛ ( حتى العُشر ) = 1،56 ت 1،6
ب ) !99؛@1؛ ( حتى الجزء من مئة ) = 1،105263158 ت 1،11
جـ ) &6؛!1؛ ( حتى الجزء من ألف ) = 1،0625 ت 1،063
6 ) أ ) قرب العدد 2،45 ، ( هو عدد دوري أي يساوي 2،45454545.... )
حتى العُشر = 2،5 ، حتى الجزء من مئة = 2،45 ، حتى الجزء من ألف = 2،455
ب ) قرب الأعداد التالية حتى الجزء من ألف : ( بقسمة البسط على المقام قسمة مطولة )
^1؛@1؛ = 2،363636 ت 2،364 #9؛#9؛!؛ = 1،34343434 ت 1،343
%1؛@2؛ = 1،19047 ت 1،190
7 ) حدد قيم العدد س ، كي تكون الأعداد النسبية التالية أعدادًا عشرية . ( س مؤلف من رقم واحد )
أ ) س؛ 5+1؛ ؛!؛ = س؛ 5+؛ خخ؛!3؛ نلاحظ أن المقام يحتوي على 3 ولا بد من التخلص منها باختصارها مع البسط
حتى يتبقى بالمقام 5 فقط لذالك نحاول إيجاد قيم لـ س عند جمعها مع الواحد تعطينا قيمة يمكن
اختصارها مع 3 طبعاً بشرط أن س مؤلف من رقم واحد كما ذُكر في السؤال وهذه القيم هي :
تت س = 2 أو س = 5 أو س = 8
ب ) @ ؛ س؛ 2+2؛ ؛!؛ = @ ؛ 2س؛ +خخ؛ 1؛!1؛ تت 2س + 1 = 11 تت س = 5
جـ ) % ؛س5 ؛+3؛ ؛@؛ = % ؛س5 ؛+خخ؛ ؛7@؛ تت 5س + 2 = 7 تت س = 1
8 ) حدد قيم العدد س ، كي تكون الأعداد النسبية التالية أعدادًا عشرية . ( س مؤلف من رقمين )
أ ) 5؛س0 1؛ = 1؛س2؛ ؛ خخ؛؛؛؛5 نحاول إيجاد قيمة لـ س يمكن اختصارها مع 21 ليبقى في المقام فقط 5
بشرط أن هذه القيم مؤلفة من رقمين تت س = } 21 ، 42 ، 63 ، 84 {
ب ) 5س4؛ 2؛ = 9س4؛ ؛ خخ؛ 5؛ نحاول إيجاد قيمة لـ س يمكن اختصارها مع 49 ليبقى في المقام فقط 5
بشرط أن هذه القيم مؤلفة من رقمين تت س = } 49 ، 98 {
جـ ) 6س؛ 3؛ = 4؛س خخ؛ ؛9 ؛ نحاول إيجاد قيمة لـ س يمكن اختصارها مع 9 ليبقى في المقام فقط 4
بشرط أن هذه القيم مؤلفة من رقمين
تت س = } 18 ، 27 ، 36 ، 45 ، 54 ، 63 ، 72 ، 81 ، 90 ، 99 {
( 2 – 7 ) قوى عدد نسبي :
1 ) احسب قيمة كلاً من القوى التالية :
( - 5 )# = - 5 × - 5 × - 5 = - 125
( - 4 )_# = ( - 4 × - 4 × - 4 )_!= ( - 64 ) _! = - !4؛ 6؛
( 2 )_$ = ( 2 × 2 × 2 × 2 )_!= ( 16 ) _! = !6؛ 1؛
( - !2؛ ) ^ = - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ × - !2؛ × - !2؛ × - !2؛ = + !؛4؛ 6؛
( #2؛ ) _$ = ( #2؛ × #2؛ × #2؛ × #2؛ ) _!= ( !6؛*5؛ 2؛ ) _!= ^1؛!8؛
( $5؛ ) _!= %4؛ ، ( &9؛ )( = 1
2 ) احسب قيمة س@ × ص# في كلاً من الحالتين التاليتين :
أ ) س = _$5؛ ، ص = !2؛
س@×ص# = (_$5؛ )@ × ( !؛2 )#=( _$5؛ × _$5؛ )×( !؛2 × !؛2 × !؛2 ) = ( ^5؛!2؛ )×( !8؛ ) = ^0؛!0؛ 2؛ = @5؛ 2؛
ب ) س = #4؛ ، ص = _ @5؛
س@×ص# = ( #4؛ )@ × (_ @5؛ )#= ( #4؛؛ × #4؛ )×( _ @5؛ ×_ @5؛ ×_ @5؛ ) = ( )6؛ 1؛)×(_*5؛ 2؛ 1؛) =- @0؛&0؛ 0؛ 2؛ = - )0؛ 5؛ 2؛
3 ) احسب قيمة ( _$9؛ ) س × ( @3؛ )ص في كلاً من الحالتين التاليتين :
أ ) س = 2 ، ص = - 3
( _$9؛ )@ × ( @3؛ )_# = (_$؛9 × _$؛9 ) × ( @3؛ × @3؛ × @3؛ ) _!= ^1؛!8؛ × &8؛@؛ = @3؛
ب ) س = - 1 ، ص = 2
( _$9؛ )_! × ( @3؛ )@ = ( -)4؛ ) × ( $9؛ ) = - 1
4 ) حول الأعداد التالية إلى قوى ذات أس موجب ثم إلى قوى ذات أس سالب :
*7؛ 2؛ = ( @3؛ )# = ( #2؛ )_#
- %7؛@2؛!؛ = ( - %3؛ )# = ( - #5؛ )_#
^1؛!8؛ = ( @3؛ )@ = ( #2؛ )_@
)1؛$8؛ = ( &9؛ )@ = ( )7؛ )_@
5 ) ( أ ) اكتب العدد 0،36 على الشكل ( ا؛ بب)@ 0،36 = ^0؛#0؛ 1؛ = ( ^0؛ 1؛ )@
( ب ) اكتب العدد 0،125 على الشكل ( ا؛ بب)# 0،125 = %0؛@0؛!0؛ 1؛ = ( %0؛ 1؛ )#
6 ) احسب : ( ثم استنتج قاعدة لإشارة قوى عدد نسبي سالب )
( - !2؛ )@ = - !2؛ × - !2؛ = !4؛
( - !2؛ )$ = - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ = !6؛ 1؛
( - !2؛ )^ = - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ = !4؛ 6؛
( - !2؛ )* = - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ = !6؛ 5؛ 2؛
( - !3؛ )! = - !3؛
( - !3؛ )# = - !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ = - !7؛ 2؛
( - !3؛ )% = - !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ = - !3؛ 4؛ 2؛
( - !3؛ )& = - !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ = - !؛7؛ 8؛ 1؛ 2؛
نستنتج أن : إذا كان قوى العدد النسبي السالب زوجية كان الناتج موجب
وإذا كانت قوى العدد النسبي السالب فردية كان الناتج سالب .
7 ) اكتب كلاً مما يلي كقوة عدد واحد :
أ ) ( @5؛ )$ × ( %2؛ )_@= ( @5؛ )$ × ( @5؛ )@= ( @5؛ )$+@= ( @5؛ )^
ب ) ( @3؛ )$ × ( $9؛ )# = ( @3؛ )$ × ] ( @3؛ )@[ # = ( @3؛ )$ × ( @3؛ )^ = ( @3؛ )(!
جـ ) ( - !2؛ )_# × ( #6؛ )^ = (- !2؛ )_# × (- !2؛ )^ = (- !2؛ )_#+^ = (- !2؛ )#
د ) ( !5؛ )_$ × ( 25 )_# = ( 5 )$ × ] ( 5 )@ [_# =( 5 )$ × ( 5 ) _^ =( 5 ) _@
هـ ) ] ( !3؛ )_# [$ × ] ( - !3؛ )@ [_@ = ( !3؛ ) _@! × ( - !3؛ )_$ = ( !3؛ ) _@! × ( !3؛ )_$= ( !3؛ ) _^!
8 ) احسب بطريقتين مختلفتين كلاً مما يأتي ، وما علاقة الناتجين ؟
أ ) 1~ ( @3؛ )$ × ( #4؛ )$= ( @3؛ × @3؛ × @3؛ × @3؛ )× ( #4؛ × #4؛ × #4؛ × #4؛ ) = ^1؛!8؛ × !6؛*5؛ 2؛ = !6؛ 1؛
2~ ( @3؛ )$ × ( #4؛ )$= ( @3؛ × #4؛ )$ = ( !2؛ )$ = !2؛× !2؛ × !2؛ × !2؛ = !6؛ 1؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
ب ) 1~ ( !3؛ × ^5؛ )_@= ( ^5؛ 1؛ )_@ = ( @5؛ )_@ = ( %2؛ )@ = %2؛ × %2؛ = %4؛@؛
2~ ( !3؛ × ^5؛ )_@= ( !3؛ )_@× ( ^5؛ )_@= ( #1؛ )@× ( %6؛ )@ = 9 × %6؛@3؛ = %6؛@3؛@؛ = %4؛@؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
جـ ) 1~ ( &2؛ × $1؛ 2؛ )_@= ( *2؛@4؛ )_@ = ( @3؛ )_@ = ( #2؛ )@ = #2؛ × #2؛ = ^4؛؛ = )4؛
2~ ( &2؛ × $1؛ 2؛)_@= ( &2؛ )_@× ( $1؛ 2؛ )_@= ( @7؛ )@× ( !4؛@؛ )@ = $9؛ 4؛ × !6؛$1؛$؛ = $4؛^؛8&؛7!؛ = )4؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
د ) 1~ ( #4؛ )@×( #؛4 )_#= ( #4؛ )@×( $3؛ ) #=( #4؛ × #4؛ )×( $3؛ × $3؛ × $3؛ )= )6؛ 1×$7؛^2؛ = ^2؛&3؛%4؛ = $3؛
2~ ( #4؛ )@× ( #؛4 )_#= ( #4؛ )@_#= ( #؛4 )_!= $3؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
9 ) احسب قيمة س فيما يلي :
أ ) ] ( @5؛ )@[ س = ( @5؛ )* تت ( @5؛ )@ س = ( @5؛ )* ( الأساسات متساوية إ الأسس متساوية )
تت 2س = 8 تت س = 4
ب ) ( #4؛ )_@× ( $3؛ ) س = ( #4؛ )_%تت( #4؛ )_@× ( #4؛ )_ س = ( #4؛ )_%تت( #4؛ ) _@_ س = ( #4؛ )_%
تت – 2 – س = - 5 تت س = 3
جـ ) (- @7؛× !6؛)#= (- @7؛) س×( !6؛ )#تت(- @7؛ )#×( !6؛)#= (- @7؛ ) س×( !6؛ )# (نختصر(!6؛)#في الطرفين)
تت (- @7؛ )# = (- @7؛ ) س تت س = 3
د ) ( !2؛ )%×( #4؛ ) س = ( #8؛ )%تت ( #4؛ ) س = ( #8؛ )%÷ ( !2؛ )%تت ( #4؛ ) س = ( #8؛ ÷ !2؛ )%
( #4؛ ) س = ( #8؛ × @1؛ )%تت( #4؛ ) س = ( ^8؛ )%تت( #4؛ ) س = ( #4؛ )%تت س = 5
هـ ) ( @3؛ ) س ÷ ( @3؛ )_@= ( @3؛ )%تت س – (-2 ) = 5 تت س = 3
و ) (- $7؛ )# ÷ (- &4؛ ) س = (- &4؛ )_@تت (- &4؛ ) _# ÷ (- &4؛ ) س = (- &4؛ )_@
تت - 3 – س = - 2 تت س = - 1
10 ) احسب كلاً مما يلي :
أ ) ](3)_@×( !3؛ )[$÷(9)_@= ](!3؛)@×( !3؛ )[$÷] (3)@ [_@=](!3؛)@+! [$÷( !3؛ )$= ](!3؛)# [$÷( !3؛ )$
= ( !3؛ )@!÷( !3؛ )$ = ( !3؛ )*
ب ) ]( !2؛ )@ × ( !4؛ )@[ ÷ ( !8؛ )_@= ]( !2؛ )@ × (( !2؛)@)@ [ ÷ ] ( !2؛ )# [_@
] ( !2؛ )@ × ( !2؛)$ [÷( !2؛ )_^= ( !2؛)^ ÷( !2؛ )_^= ( !2؛)@!
( 3 – 1 ) معادلات الدرجة الأولى في ن :
1 ) اكتب العبارة الرياضية التي تمثل كلاً من الجمل التالية :
أ ) عدداً ل مضروباً في 4 ومطروحاً من الناتج 8 ، والنتيجة 20 ( 4ل – 8 = 20 ) .
ب ) عدداً ص مضروباً في 5 والنتيجة 25 . ( 5ص = 25 ) .
جـ ) نصف 3ص مضافاً إلية ربع ، يساوي خمس 2ص مطروحاً منه 1 .
( !2؛ × 3ص + !4؛ = !5؛ ×2ص – 1 ) تت ( #2؛ ص + !4؛ = @5؛ ص – 1 )
د ) عدداً س مضافاً إلية 3 . ( س + 3 ) .
هـ ) عدداً ع أضيف إليه 8 والنتيجة 10 . ( ع + 8 = 10 )
و ) 5ع مضاف إلية ربع العدد 20 . ( 5ع + !4؛ × 20 ) تت (( 5ع + (4؛@؛ ) تت (( 5ع + 5 )
2 ) زاوج بين العبارات اللفظية التالية في المجموعة الأولى والعبارات الجبرية
المناسبة لها في المجموعة الثانية :
المجموعة الأولى المجموعة الثانية
إذا كان عمر أحمد س ، كم عمرة قبل 5 سنوات ؟ 5س
إذا كان ثمن القلم الواحد س ، كم ثمن 5 أقلام ؟ 15س
إذا كان ثمن كيس الأرز 3س ، فما ثمن 5 أكياس ؟ 17 – 2س
قام 17 طالب برحلة فكم يكون عددهم إذا رجع منهم 2س ؟ س + 24
وزن طلال 2كغم ويزيد وزن ياسر 24 كغم عن وزن طلال فكم وزن ياسر ؟ س – 5
3 ) ضع كلاً من المعادلات التالية على الصورة : اس = ب
أ ) -2س + 9س – 7 = 0 تت 7س = 7
ب ) 7س – 3( 2س + 4 ) = 7 تت 7س – 6س – 12 = 7
تت 7س -6س = 7 + 12 تت س = 19
جـ ) س ؛_4؛ ؛%؛ = # ؛س؛ ؛+3؛ ؛@؛ ( بضرب طرفين في وسطين )
3 ( س – 5 ) = 4 ( 3 س + 2 )
تت 3س – 15 = 12س + 8 تت 3س -12س = 8 + 15
تت – 9س = 23 تت 9س = - 23
د ) 0،4 س – س = 5 ( 0،06 – 2س )
تت 0،4 س – س = 3،0 – 10س
تت 0،4 س – س + 10س = 3،0 تت 0،4 س + 9س = 3،0 تت $0؛ 1؛ س+ 9س = #0؛ 1؛
تت $0؛ 1؛ س+ (0؛)1؛ س = #0؛ 1؛ تت $0؛)1؛ س = #0؛ 1؛
4 ) حل المعادلات التالية في ن :
أ ) 5 ( س + 3 ) = 6 تت 5س + 15 = 6 تت 5س = 6 – 15 تت 5س = - 9 تت س =- )5؛
ب ) 2 ( 11 – ص ) = 0 تت 22 – 2ص = 0 تت – 2ص = - 22 تت ص = 11
جـ ) 2 + 3ع = 5ع – 9 تت 3ع – 5ع = - 9 – 2 تت – 2ع = - 11 تت ع = !2؛!؛
د ) 4 – 2( 5س – 3 ) = 15 تت 4 – 10س + 6 = 15 تت – 10س = 15 – 4 – 6
تت – 10س = 5 تت س = - !؛2
هـ ) @ 5س؛ = !؛3 تت 2س × 3 = 5×1 تت 6س = 5 تت س = %؛6
و ) # 2س؛ = !؛4 تت 3س × 4 = 2×1 تت 12س = 2 تت س = !؛6
ز ) ^5؛ص؛ = @؛3 تت 6ص × 3 = 5×2 تت 18ص = 10 تت س = %؛9
ح ) %7؛ع؛؛ = #4؛ تت 5ع × 4 = 7 × 3 تت 20ع = 21 تت ع = !0؛@2؛
ط ) # ؛ س؛2 +؛ ؛!؛ = #4؛ تت 4( 3س + 1 ) = 2 × 3 تت 12س + 4 = 6 تت 12س = 6 – 4
تت 12س = 2 تت س = !6؛
ي ) %؛ س؛7 +؛ ؛!؛ = 2 ( س + 1 ) تت 5س + 1 = 14 ( س + 1 ) تت 5س + 1 = 14س + 14
5س – 14س = 14 – 1 تت – 9س = 13 تت س = - #9؛!؛
ك ) ص؛+؛2 ؛$؛ - ص؛ _؛5؛$؛ = ص؛+؛5 1؛&؛ تت %؛ص؛ 0+1؛ ؛(؛@؛ - @؛ص؛ 0_1؛ ؛*؛ = ص؛+؛5 ؛ 1؛&؛ تت #؛ص؛؛؛؛ 0+1؛ ؛*؛@؛ = ص؛+؛5 ؛ 1؛&؛
تت 15(3ص+28)=10(ص+7) بحل المعادلة ينتج : ص = - 10
ل ) $؛ر؛3+؛ ؛#؛ + @؛ر؛2+؛ ؛%؛؛ = 0 تت $؛ر؛3+؛ ؛#؛ = - @؛ر؛2+؛ ؛%؛؛ تت 2(4ر+3) = - 3(2ر+5)
تت 8ر+6 = - 6ر – 15 تت 8 ر + 6ر = - 15 – 6 تت 14ر = - 21 تت ر = - #2؛
5 ) كم يجب أن تكون قيمة أ في المعادلة : اس – (ا– 1 ) س = 4ا ، لكي يكون س=1 حلاً لها ؟
بالتعويض في المعادلة بالقيمة : س=1 ينتج :
ا×1 – (ا– 1 )×1 = 4ا تت ا– (ا – 1 ) =4ا
تت ا– ا + 1 = 4ا تت 4ا = 1 تت ا= !4؛
( 3 – 2 ) مسائل حسابية :
1 ) مثلث متطابق الضلعين محيطة يساوي 40سم ، احسب طول كلاً من الضلعين المتطابقين ،
إذا كان طول الضلع الثالث يساوي 16سم .
نفرض أن طول الضلعين المتساويين هو : س
محيط المثلث = طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني + طول الضلع الثالث ( بالتعويض عن القيم )
40 = س + س + 16 تت 40 – 16 = 2س تت 2س = 24 تت س = 12سم
إ طول الضلعين المتطابقين = 12سم .
للتأكد : 12 + 12 + 16 = 40
2 ) اشترك ريان وأسامة في عمل مشروع خيري ، فإذا علمت أن ما دفعة ريان @3؛ مما دفعة أسامة ،
وأن تكلفة المشروع الخيري 9000 ريال ، احسب مقدار ما دفعة كلاً منهما .
نفرض أن ما دفعة أسامة = س
بالتالي يكون ما دفعة ريان = @3؛ س ( نكون المعادلة )
س + @3؛ س = 9000 تت (1+ @3؛ )س = 9000 تت ( #3؛ + @3؛ )س = 9000
تت %3؛ س = 9000 تت س = (؛(؛()5؛خ؛#؛ تت س = 5400
ما دفعة أسامة = 5400 ريال ، ما دفعة ريان = @3؛ (5400 ) = 3600 ريال
للتأكد : 5400 + 3600 = 9000 ريال .
3 ) مع محمد 240 ريالاً ، ومع خالد 100 ريال ، يوفر كلاً منهما 5 ريالات يومياً ،
بعد كم يوم يصبح ما مع خالد نصف ما مع محمد ؟
نفرض أن عدد الأيام = س فيكون مجموع ما ينقص من المبلغين بعد س يوم هو 5س
من ذلك تتكون المعادلة : ( 100 + 5س ) = !2؛ (240 + 5س ) تت100 + 5س =120+ %2؛ س
تت 5س - %2؛ س =120-100 تت %2؛ س =20 تت س = 8
بعد 8 أيام يصبح ما مع خالد نصف ما مع محمد
4 ) مجموع عددين نسبيين يساوي #5؛ . ما هما العددان إذا كان أحدهما يساوي #4؛ الآخر ؟
نفرض أن العدد الأول = س ، بالتالي يكون العدد الثاني = #؛4 س ( نكون المعادلة )
س + #؛4 س = #5؛ تت ( 1 + #؛4 )س = #5؛ تت ( $4؛ + #4؛ )س = #5؛ تت &4؛ س = #5؛ تت س = @5؛!3؛
إ العدد الأول = @5؛!3؛ ، العدد الثاني = #؛4× @5؛!3؛ = )5؛ 3؛ ، للتأكد : @5؛!3؛ + )5؛ 3؛ = !5؛@3؛ = #5؛
5 ) اشترى تاجر كمية من القماش ، ثلثاها من الحرير،والثلث الباقي من القطن،دفع متر الحرير 24 ريالاً
وثمن متر القطن 16 ريالاً ، كم متراً اشترى التاجر من كل نوع إذا كان ثمن القماش 1600 ريال ؟
نفرض أن عدد الأمتار التي اشتراها التاجر = س
ثلثها من الحرير الذي ثمن متره 24 تت @3؛ س × 24 = 16س
ثلثها من القطن الذي ثمن متره 16 تت !3؛ س × 16 = ^3؛!؛ س
تتكون المعادلة : 16س + ^3؛!؛ س = 1600 تت س = 75 متر
عدد أمتار الحرير = @3؛ × 75 = 50 متر ، عدد أمتار القطن = !3؛ × 75 = 25 متر
6 ) اقتسم ثلاث أشخاص مبلغاً من المال، أخذ الأول حصة تقل عن ثلثي المبلغ 2500 ريال ، وأخذ الثاني
ربع المبلغ،وأخذ الثالث حصة تقل عن نصف المبلغ بمقدار1500ريال كم كان المبلغ؟وكم حصة كلاً منهم؟
نفرض أن مقدار المبلغ = س ريال
حصة الأول = @3؛ س – 2500 ، حصة الثاني = !4؛ س ، حصة الثالث = !2؛ س – 1500 (نكون معادلة)
س = @3؛ س – 2500 + !4؛ س+ !2؛ س – 1500 تت س= &2؛!1؛ س – 400 تت س- &2؛!1؛ س= – 400
تت - %2؛ 1؛ س= – 400 تت س = 9600 ريال . ( مقدار المبلغ ككل )
فتكون : حصة الأول= @3؛ س – 2500 = @3؛ × 9600 – 2500 = 3900 ريال .
حصة الثاني = !4؛ س = !4؛ × 9600 = 2400 ريال
حصة الثالث = !2؛ س – 1500= !2؛ × 9600 – 1500= 3300 ريال .
7 ) لدى مزارع سلة من البيض باع ربعها ، وكُسر من الباقي 4 بيضات ، فأصبح ما بقي في السلة
يعادل %8؛ ما كان فيها ، كم بيضة كانت في السلة ؟ نفرض أن عدد البيض الذي كان في السلة = س
س - !4؛ س – 4 = %8؛ س تت #4؛ س - %8؛ س = 4 تت !8؛ س = 4 تت س = 32
عدد البيض = 32 بيضة .
8 ) الفرق بين عمر أب وعمر أبنه الآن 25 سنة ، بعد 8 سنوات يصبح !7؛ عمر الأب مساوياً
لـ !2؛ عمر الابن ، فما هو عمر كلاً منهما الآن ؟
نفرض أن عمر الابن = س ، بالتالي يكون عمر الأب = س + 25
بعد 8 سنوات يصبح :عمر الابن = س +8 ، عمر الأب = س + 25+8 = س + 33 (نكون المعادلة)
!7؛ ( س + 33 ) = !2؛ ( س + 8 ) تت !7؛ س + #7؛#؛ = !2؛ س + 4 تت !7؛ س - !2؛ س = 4 - #7؛#؛
تت - %4؛ 1؛ س = - %7؛ تت س = 2
إ عمر الابن الآن = 2 (سنتين ) ، وعمر الأب الآن = 2 + 25 = 27 سنة
9 ) ما العدد الصحيح الذي إذا أضفناه إلى حدي الكسر #7؛ أصبح الكسر مكافئ للكسر @3؛ ؟
نفرض أن هذا العدد هو س فينتج :
#؛7 +=؛ ؛س سس؛ = @3؛ تت 3 ( 3 + س ) = 2 ( 7 + س ) تت 9 + 3 س = 14 + 2 س
3س – 2س = 14 – 9 تت س = 5
10 ) مستطيل طول محيطة 360 متر ، إذا كان عرضه يقل عن طوله بـ10 أمتار،فاحسب مساحته .
نفرض أن طول المستطيل = س بالتالي يكون عرضه = س – 10
محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)تت360=2(س + س – 10 ) تت 360=4س – 20
تت 4س=380 تت س=95 ( الطول = 95 م ، العرض = 95 – 10 = 85 م )
مساحة المستطيل = الطول × العرض = 95 × 85 = 8075 م@
11 ) منطقة على شكل دائرة محيطها 62،8 متر ، أوجد طول نصف قطر الدائرة .
محيط الدائرة = 2 × ط × نق حيث : ط = 3،14
62،8 = 2 × 3،14 × نق تت 62،8 = 6،28 × نق تت نق = *8؛لم2لي؛@؛^؛6
بضرب البسط والمقام في 100 للتخلص من الفاصلة ينتج :
نق = (8؛*؛2@؛6^؛ تت نق = 10 متر .
12 ) منطقة على شكل مثلث طول قاعدة 24سم،أوجد ارتفاع المثلث إذا كانت مساحة المنطقة = 210سم@
مساحة المثلث = ( طول القاعدة × طول الارتفاع ) ÷ 2
نفرض أن ارتفاع المثلث = س ( بالتعويض بالقيم في القانون ينتج )
210 = ( 24 × س ) ÷ 2 تت 210 = 24س ÷ 2 تت 210 = 12س
س = (؛!2؛@1؛ = %2؛#؛ = !2؛ 17 سم .
( 4 – 1 ) حقائق حول الزوايا :
1 ) في الشكل التالي : س ص ] ع ط ، م ن قاطع لهما بحيث أن : م ؟ 2 = 120 ْ .
احسب قياس الزوايا التالية بدون استعمال المنقلة :
م ؟ 1 = 180 ْ - م ؟ 2 = 180 ْ - 120 ْ = 60 ْ ( حيث أنهما زاويتان متكاملتان )
م ؟ 4 = م ؟ 2 = 120 ْ ( بالتقابل بالرأس )
ن ؟ 1 = م ؟ 1 = 60 ْ ( لأنهما زاويتان متناظرتان )
ن ؟ 2 = م ؟ 2 = 120 ْ ( لأنهما زاويتان متناظرتان )
2 ) م نقطة تنتمي للمستقيم س ص .
أ ) ارسم ] م ع ، ] م ط من جهتي س ص بحيث أن : ع
س م عظ = ص م طظ = 30 ْ س 30 × م ص
ط
ب ) أثبت أن : ] م ع ، ] م ط جزءان من مستقيم واحد .
بما أن : س م عظ = ص م طظ = 30 ْ
وبما أن :رأسهما مشترك وهو م
وكذلك أحدى أضلاعهما وهو ] م س امتداده هو ضلع للأخرى وهو ] م ص
إذاً هما زاويتان متقابلتان بالرأس أي أن : ضلع أحدهما هو امتداد لضلع الأخرى
أي أن : ] م ع ، ] م ط جزءان من مستقيم واحد .
جـ ) قارن بين : ع م صظ = ط م سظ .
بما أن : س م عظ = 30 ْ ، إذاً : = ع م صظ = 180 ْ – 30 ْ = 150 ْ
وبما أن : ص م طظ = 30 ْ ، إذاً : = ط م سظ = 180 ْ – 30 ْ = 150 ْ
إذاً : ع م صظ = ط م سظ =150 ْ ( بالتقابل بالرأس )
3 ) في الشكل التالي : بظ ب ؟1 = د 1؟ ، أثبت أن :
أ ) س ص ] ع ط .
بظ بما أن : ب ؟1 وَ د 1؟ زاويتان متساويتان وهما متناظرتان بالنسبة لمستقيمين وقاطع
إذاً : المستقيمان متوازيان ، أي أن : س ص ] ع ط .
ب ) د 1؟ وَ ب ؟ 2 متكاملتان .
بما أن : ب 1؟ وَ ب ؟ 2 متكاملتان وَ بظ ب ؟1 = د 1؟ إذاً : د 1؟ وَ ب ؟ 2 متكاملتان .
4 ) في المثلث ا ب ج منصفا الزاويتين التين رأسهما ب ،ج يتقاطعان في ن .من ن أنشأنا مستقيماً موازٍ
للمستقيم ب ج ، يتقاطع مع ] ا ب [ ، ] ا ج [ في النقطتين د ، ه على التوالي . ا
أ ) أثبت أن المثلث د ب ن متطابق الضلعين .
د ن هـ
ب جـ
ب ) أثبت أن المثلث هـ ن جـ متطابق الضلعين .
( تُحل بنفس خطوات حل فقرة أ )
5 ) في الشكل التالي : د هـ ] ب جـ ، د ا ب ظ = 55 ْ ، ه ا ج ظ = 40 ْ بدون استخدام المنقلة
أوجد قياسات زوايا المثلث اب ج .
بما أن : د هـ ] ب جـ ، اب قاطع لهما ، إذاً : د ا ب ظ = ب ؟ = 55 ْ ( بالتبادل )
كذلك ا ج قاطع لهما ، إذاً : ه ا ج ظ = ج ؟ = 40 ْ ( بالتبادل )
د ا ب ظ + ه ا ج ظ + ا ؟ = 180 ْ ( زوايا متكاملة )
55 ْ + 40 ْ + ا ؟ = 180 ْ تت 95 ْ + ا ؟ = 180 ْ تت ا ؟ = 180 ْ – 95 ْ تت ا ؟ = 85 ْ
6 ) في الشكل التالي :ا ب ] ج د ، ا ج ] د ه ، أثبت أن : ا ؟ = د ؟ .
بما أن : ا ب ] ج د ، ج ا قاطع لهما ، ا ؟ = ا ج د ظ ( بالتبادل ) تت (1)
وبما أن : ا ج ] د ه ، د ج قاطع لهما ، د ؟ = ا ج دظ ( بالتبادل ) تت (2)
من (1) ، (2) : ا ؟ = د ؟ .
7 ) في الشكل التالي : س ص ] ع ط ، م ن ، هـ و قاطعان لهما ، م ن عع ع ط ، ن 6؟ 1 + و 7؟ = 220 ْ
- ما قياس الزاوية و 7؟ ؟
ن 6؟ 1 = 90 ْ ( زاوية قائمة ناتجة من تعامد المستقيمين م ن عع ع ط ) و 7؟ = 220 ْ – 90 ْ = 130 ْ
- ما هي الزوايا التي قياس كلاً منها 130 ْ ؟
و 5؟ ( بالتقابل بالرأس مع و 7؟ ) ، هـ 3؟ ( بالتناظر مع و 7؟ ) ، هـ 1؟ ( بالتبادل مع و 7؟ )
- ما قياس الزاوية و 6 ؟ ؟
و 6 ؟ = 180 ْ - و 5؟ = 180 ْ – 130 ْ = 50 ْ
- ما هي الزوايا التي قياس كل منها 50 ْ ؟
و 8؟ ( بالتقابل بالرأس مع و 6؟ ) ، هـ 2؟ ( بالتناظر مع و 6؟ ) ، هـ 4؟ ( بالتبادل مع و 6؟ )
- ما قياس الزاوية م 0 ؟1 ؟ 90 ْ ( لأنها ناتجة عن تعامد ن م ، س ص )
8 ) في المثلث ا ب ج ، | ا ب | = | ا ج | ، من نقطة د على ] أ ب [ أنشأنا د هـ مستقيماً موازٍ
للمستقيم ب جـ يتقاطع مع ] أ جـ [ في هـ . ا
أ ) أذكر الزوايا المتساوية على الرسم مع ذكر السبب .
ب ؟ = ج ؟ ( لأنهما زاويتان في مثلث تقابلان ضلعين متطابقين ) د هـ
د 1؟ = د 3؟ ، د 4؟ = د 2؟ ، ه 1؟ = ه 3؟ ، ه 4؟ = ه 2؟ ( بالتقابل بالرأس ) ب جـ
ب ؟ = د 2؟ ، ج ؟ = ه 2؟ ( بالتناظر )
ب ؟ = د 4؟ ، ج ؟ = ه 4؟ ( بالتبادل )
ب ) أثبت أن : أ د هـ مثلث متطابق الضلعين .
بما أن : ب ؟ = ج ؟ ، ب ؟ = د 2؟ ، ج ؟ = ه 2؟ إ د 2؟ = ه 2؟
وهما زاويتان داخليتان في المثلث أ د هـ
ومن المعلوم أنه : إذا تساوت زاويتان من مثلث فإن المثلث يكون متطابق الضلعين .
إذاً : أ د هـ مثلث متطابق الضلعين .
9 ) في الشكل التالي : س ص ] ع ط ، س ع ] ص ط . إذا كانت ص؟ 1 = 35 ْ
فأوجد قياس كلاً من الزوايا التالية بدون استعمال المنقلة .
ص؟ 2 = 180 ْ – 35 ْ = 145 ْ ، س؟ 3 = ص؟ 1 = 35 ْ
ع ؟ 4= ص؟ 2 = 145 ْ ، ط ؟ 5 = ص؟ 1 = 35 ْ
( 1 – 2 ) المضلعات :
1 ) ارسم خطوطاً مضلعة عدد أضلاعها 2،3 ، 4 ، 5 ، 6 احسب في كل مرة طول الخط الذي رسمته .
( في هذا السؤال لك الحرية المطلقة في رسم المضلعات بأي شكل كان وبأي تسمية وبأي طول )
2 ) حدد المضلع من بين الأشكال التالية :
الشكل الأول والشكل الثالث فقط هي التي تمثل مضلعات .
3 ) ارسم خطاً مضلعاً ا ب ج د ه ا . كم عدد أضلاعه ؟ كم عدد رؤوسه ؟ كم عدد زواياه ؟
ماذا نسميه ؟ احسب محيطه . ا ب
ه
د ج
عدد أضلاعه = 5 أضلاع ، عدد رؤوسه = 5 رؤوس ، عدد زواياه = 5 زوايا
نسميه : مضلع خماسي أو مضلع خماسي منتظم إذا كانت أطوال أضلاعه التي رسمناها متساوية .
محيطة = | ا ب | + | ب ج | + | ج د | + | د ه | + | ه ا | ( مجموع أطوال أضلاعه )
4 ) تحقق بالقياس من أن المضلع السداسي في الشكل المقابل سداسي منتظم .
بعد قياس أضلاعه نجدها جميعها متطابقة وتساوي سم .
أ ) ما قياس الزاوية الواحدة من هذا المضلع ؟
نقيس أحدى زوايا المضلع باستخدام المنقلة فنجدها تساوي 120 ْ .
ب ) احسب محيطة ؟
محيطة = | ا ب | + | ب ج | + | ج د | + | د ه | + | ه و | + | و ا|
أو نقول : عدد الأضلاع × طول الضلع الواحد = 6 × 2،2 = 13،2 سم .
5 ) حديقة على شكل خماسي منتظم طول ضلعها 15 م . احسب محيطها .
المحيط = عدد الأضلاع × طول الضلع الواحد = 5 × 15 = 75 م
6 ) سارت سيارة على خط مضلع كما هو مبين في الشكل . احسب المسافة التي قطعتها السيارة .
المسافة = 5،6 + 4 + &0؛ 1؛ 3 + 3،5 + 5 = 14،1 + &0؛ 1؛ 3 = 14،1 + &0؛#1؛
= 18،1 + 3،7 = 21،8 كلم
( 4 – 3 ) مجموع زوايا مضلع :
1 ) احسب ذهنياً قياس الزاوية المجهولة في كلاً مما يلي :
- ب ؟ = 180 ْ – ( 60 ْ + 50 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
- و ؟ = 180 ْ – ( 70 ْ + 40 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
- س؟ = 180 ْ – ( 57 ْ + 38 ْ ) = 180 ْ – 95 ْ = 85 ْ
- و ؟ = 180 ْ – ( 70 ْ + 40 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
الشكل رباعي فيكون مجموع زواياه = ( 4 – 2 ) × 180 ْ = 2 × 180 ْ = 360 ْ
د ؟ = 360 ْ – ( 88 ْ + 113 ْ+ 67 ْ ) = 360 ْ – 268 ْ = 92 ْ
- ن ؟ = 360 ْ – ( 48 ْ + 121 ْ+ 56 ْ ) = 360 ْ – 225 ْ = 135 ْ
2 ) مجموع قياس زاويتين في مثلث 110 ْ ، فما قياس الزاوية الثالثة ؟
قياس الزاوية الثالثة = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
3 ) ما قياس زاوية مضلع خماسي منتظم ؟
مجموع قياس زواياه الداخلية = ( 5 – 2 ) × 180 ْ = 3 × 180 ْ = 540 ْ
قياس الزاوية الواحدة = 540 ْ ÷ 5 = 108 ْ
4 ) ا ب ج د ه و مضلع سداسي فيه ، ا ؟ = 105 ْ ، ب ؟ = 140 ْ ، ج ؟ = 122 ْ ،
د ؟ = 110 ْ ، ه ؟ = 95 ْ . احسب قياس و؟ ؟
مجموع الزوايا الداخلية للسداسي = ( 6 – 2 ) × 180 ْ = 4 × 180 ْ = 720 ْ
و؟ = 720 ْ – ( 105 ْ + 140 ْ + 122 ْ + 110 ْ + 95 ْ ) = 720 ْ – 572 ْ = 148 ْ
5 ) إذا كان مجموع قياسات زوايا مضلع 1800 ْ ، فكم عدد أضلاعه ؟
مجموع قياسات زوايا مضلع عدد أضلاعه ن = ( ن – 2 ) × 180 ْ ( بالتعويض )
1800 ْ = ( ن – 2 ) × 180 ْ تت 1800 ْ = 180 ْن – 360 ْ تت 180 ْن = 1800 ْ + 360 ْ
تت 180 ْن = 2160 ْ تت ن = 12 ضلع
6 ) في الشكل المقابل ب ؟ = 90 ْ ، س ج اظ = 130 ْ ، ما قياس ا ؟ ؟
الزاوية س ج اظ هي زاوية خارجية من المثلث
بما أن : الزاوية الخارجية في مثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين الغير مجاورة لها .
إ س ج اظ = ا ؟ + ب ؟ ( بالتعويض )
130 ْ = ا ؟ + 90 ْ تت ا ؟ = 130 ْ – 90 ْ تت ا ؟ = 40 ْ
7 ) حسب الزوايا المعطاة في الشكل المقابل ، ما قياس زوايا المضلع الرباعي اب ج د ؟
في المثلث وج ه ، ج ؟ = 180 ْ – ( 60 ْ + 50 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
وج ه ظ = بج د ظ = 70 ْ ( بالتقابل بالرأس )
اب ج د رباعي مجموع زواياه = 360 ْ
إ ب ؟ = 360 ْ – ( 100 ْ + 80 ْ + 70 ْ ) = 360 ْ – 250 ْ = 110 ْ
8 ) في الشكل المقابل اب ج د ه و ، سداسي منتظم ، ما قياس الزاوية س ه و ظ ؟
مجموع الزوايا الداخلية في السداسي = ( 6 – 2 ) × 180 ْ = 4 × 180 ْ = 720 ْ
وبما أنه سداسي منتظم فإن زواياه متساوية القياس
وقياس كل واحدة منها = 720 ْ ÷ 6 = 120 ْ
وحيث أن : س ه و ظ زاوية خارجية من السداسي فإن قياسها يكون ،
س ه و ظ = 180 ْ – 120 ْ = 60 ْ
اللصف تاني متوسط
( 1 – 1 ) ضرب المجموعات :
1 ) أي العبارات التالية صحيحة :
أ ) ( 3 ، 4 ) = ( 4 ، 3 ) ( العبارة خاطئة )
ب ) ( 5 ، 5 ) = ( 6 ، 6 ) ( العبارة خاطئة )
جـ ) سس × صص = صص × سس ( العبارة خاطئة )
د ) ( أ ، ب ) ي سس × صص تعني أن : أ ي سس ، ب ي صص ( العبارة صحيحة )
2 ) حدد قيم س لتكون العبارات التالية صحيحة :
أ ) ( س ، 5 ) = ( 4 ، 5 ) س = 4
ب ) ( س ، س ) = ( 2 ، 2 ) س = 2
جـ ) ( س – 3 ، 6 ) = ( 4 ، 6 ) س – 3 = 4 س = 4 + 3 = 7
3 ) إذا كانت سس = } 2 ، 4 ، 6 { ، صص = } 1 ، 3 ، 5 { فأكمل الفراغات التالية
بوضع أحد الرمزين ي أو يي .
أ ) ( 3 ، 2 ) يي سس × صص
ب ) ( 4 ، 6 ) ي سس × سس
جـ ) ( 6 ، 5 ) ي سس × صص
د ) ( 5 ، 5 ) يي سس × سس
هـ ) ( 1 ، 6 ) ي صص × سس
و ) ( 1 ، 3 ) ي صص × صص
4 ) إذا كانت سس = } أ ، ب ، جـ ، د ، هـ { ، صص = } 1 ، 2 ، 3 { ، فأوجد عدد عناصر كلاً من :
سس × صص = 5 × 3 = 15 عنصر صص × سس = 3 × 5 = 15 عنصر
سس × سس = 5 × 5 = 25عنصر صص × صص = 3 × 3 = 9 عناصر
5 ) إذا كانت سس = } 2 ، 5 ، 9 { ، صص = } 2 ، 8 { فأكتب بذكر جميع العناصر المجموعات التالية :
سس × صص = }(2،2) ، (2،8) ، (2،5) ، (8،5) ، (2،9) ، (8،9) {
صص × سس = } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 5 ) ، ( 2 ، 9 ) ، ( 8 ، 2 ) ، ( 8 ، 5 ) ، ( 8 ، 9 ) {
صص × صص = } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 8 ) ، ( 8 ، 2 ) ، ( 8 ، 8 ) {
( سس ط صص ) × صص = } 2 { × } 2 ، 8 { = } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 8 ) {
سس × ( سس حح صص ) = } 2 ، 5 ، 9 { × } 2 ، 5 ، 9 ، 8 {
= } ( 2 ، 2 ) ، ( 2 ، 5 ) ، ( 2 ، 9 ) ، ( 2 ، 8 ) ، ( 5 ، 2 ) ، ( 5 ، 5 )
، ( 5 ، 9 ) ، ( 5 ، 8 ) ، ( 9 ، 2 ) ، ( 9 ، 5 ) ، ( 9 ، 9 ) ، ( 9 ، 8 ) {
( صص × سس ) ط ( صص × صص ) = } ( 2 ، 2 ) ، ( 8 ، 2 ) {
( 1 – 2 ) العلاقات وتمثيلها :
1 ) في كلاً من العلاقات التالية حدد المجال والمجال المقابل والمدى واكتب بيان العلاقة :
سس صص
ع ل
صص
× × ×
سس
2 ) سس = } أحمد ، سامي ، بشار ، بلال ، فيصل { ، صص = } ألبانيا ، باكستان ، تركيا ، سوريا {
حددنا علاقة بين سس و صص والتي قاعدتها " يبدأ بالحرف نفسه "
أ ) أكتب بيان العلاقة
البيان = } ( أحمد ، ألبانيا ) ، ( سامي ، سوريا ) ، ( بشار ، باكستان ) ،( بلال ، باكستان ) {
ب ) مثل العلاقة بواسطة الرسم السهمي وشبكة التربيع .
شبكة التربيع صص سس الرسم السهمي صص
سس
3 ) اكتبي قاعدة العلاقات الممثلة على الرسوم التالية :
أ ) " حرف من حروف الكلمة "
ب ) " ... نصف ... " أو " ص = 2س "
جـ ) " ... أكبر من ... "
د ) " ... أصغر من ... "
4 ) سس = } 5 ، 8 ، 10 ، 11 ، 16 { ، صص = } 9 ، 10 ، 15 ، 16 ، 20 ، 25 ، 32 {
أ ) أكتب بيان العلاقة بين المجموعتين والتي قاعدتها "... نصف ..."
البيان = } ( 5 ، 10 ) ، ( 8 ، 16 ) ، ( 10 ، 20 ) ، (16 ، 32 ) {
ب ) مثل العلاقة بالرسم السهمي .
سس صص
جـ ) اكتبي مدى العلاقة .
المدى = } 10 ، 16 ، 20 ، 32 {
5 ) عرفنا العلاقة بين مجموعة الأعداد الحقيقية ك ونفسها بالأزواج المرتبة ( أ ، ب ) حيث :
ب = 3 أ ، أكتب أول عشرة أزواج مرتبة من بيان هذه العلاقة .
البيان = } ( 0 ، 0 ) ، ( 1 ، 3 ) ، ( 2 ، 6 ) ، ( 3 ، 9 ) ، ( 4 ، 12 ) ،
( 5 ، 15 ) ، ( 6 ، 18 ) ، ( 7 ، 21 ) ، ( 8 ، 24 ) ، ( 9 ، 27 ) {
6 ) سس = } 3 ، 5 ، 7 ، 9 { ، صص = } 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40 ، 45 {
عرفنا علاقة ع بين سس و صص بيانها : } ( 3 ، 15 ) ، ( 5 ، 25 ) ، ( 7 ، 35 ) ، ( 9 ، 45 ) {
أ ) ما مدى العلاقة ع ؟
المدى = } 15 ، 25 ، 35 ، 45 {
ب ) أكتب قاعدة العلاقة ع .
ص = 5 س
7 ) سس = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 { ، صص = } -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 {
عرفنا علاقة ع بين سس و صص قاعدتها : ص = 2س – 5 ، مثل هذه العلاقة بالرسم السهمي
سس صص
8 ) إذا كانت : سس = } 3 ، 4 ، 5 ، 10 ، 31 { ، صص = } 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9 ، 19 ، 52 { حددنا
علاقة ع بين سس و صص بيانها مجموعة الأزواج المرتبة : ( أ ، ب ) أ ي سس ، ب ي صص ، ب = 2أ – 1 .
أ ) اكتبي بيان العلاقة ع .
البيان = } ( 3 ، 5 ) ، ( 4 ، 7 ) ، ( 5 ، 9 ) ، ( 10 ، 19 ) {
ب ) مثلي ع بواسطة شبكة التربيع . صص
سس
جـ ) ما قيمة س إذا كان : ( س ، 9 ) أحد الأزواج المرتبة في بيان العلاقة ع .
ب = 2 أ – 1 تت 9 = 2 س – 1 تت 2 س = 9 + 1 تت 2 س = 10 تت س = 5
( 1 – 3 ) التطبيق :
1 ) فيما يلي أنقل الرسوم السهمية إلى شبكات تربيع والعكس ثم بين أياً منها يحدد تطبيق من سس إلى صص .
أ ) " تمثل تطبيق " صص ب ) " لا تمثل تطبيق " صص
سس سس
جـ ) " تمثل تطبيق " د ) " لا تمثل تطبيق "
سس صص سس صص
2 ) إذا كانت : سس = } الطائف ، بيروت ، الإسكندرية ، حلب{ ،
صص = } لبنان ، مصر ، السعودية ، سوريا ، الكويت { مثل بواسطة الرسم السهمي العلاقة
بين المجموعتين والتي قاعدتها " ... مدينة في ... " ، وأثبت أنها تمثل تطبيق
سس صص
العلاقة تمثل تطبيق
لأنه أنطلق من كل عنصر في المجال
سهم واحد فقط في التمثيل السهمي للعلاقة
3 ) إذا كانت : سس = } 1 ، 2 ، 3 ، 4{ ، ص = } 15 ، 92 ، 66 ، 34 ، 43 { مثل بواسطة
الرسم السهمي وشبكة التربيع العلاقة بين المجموعتين والتي قاعدتها " ... رقم من أرقام العدد ... "
هل العلاقة تمثل تطبيق ؟ ولماذا ؟
سس صص صص
صص
العلاقة لا تمثل تطبيق لأنه أنطلق من بعض العناصر في المجال ( 3 ، 4 ) أكثر من سهم في
التمثيل السهمي للعلاقة.
4 ) إذا كانت : سس = } ∆ ، □ ، ○ { ، ص = } 1 ، 2 { مثل بواسطة الرسم السهمي
ثلاث تطبيقات من سس إلى صص .
سس صص سس صص سس صص
5 ) إذا كان الشكل أدناه يمثل التطبيق ت : سس تت صص وَ ق : سس تت صص فأكمل الجدول التالي :
س 1 2 3 4
ت (س) أ ب جـ جـ
ق (س) أ ب جـ ب
6 ) إذا كانت : سس = } 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6{ ، ص = } 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 { ت : سس تت صص
حيث أن : ت ( س ) = س – 2 ، لأي س ي سس .
أ ) مثل بواسطة الرسم السهمي وشبكة التربيع العلاقة ت .
سس صص صص
سس
ب ) أذكر لماذا تكون ت تطبيقاً .
لأنه أنطلق من كل عنصر في المجال سهم واحد فقط في التمثيل السهمي للعلاقة .
جـ ) ما مدى ت ؟
المدى = } 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 {
7 ) الرسم السهمي المقابل يمثل علاقة ع بين سس وَ صص . أذكر لماذا لا يمثل ع تطبيقاً ؟
لا تمثل تطبيق لأنه أنطلق من العنصر 4 في المجال أكثر من سهم ( سهمين ) .
8 ) سس = }1 ، 2 ، 3 ، 4{ ، ص = } 2 ، 5 ، 7 ، 8 ، 11 { ت : سس تت صص
حيث أن : ت ( س ) = 3س – 1 ، لأي س ي سس .
أ ) احسب :
ت (1) = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2
ت (2) = 3(2) – 1 = 6 – 1 = 5
ت (3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8
ت (4) = 3(4) – 1 = 12 – 1 = 11
ب ) مثل بواسطة الرسم السهمي وشبكة التربيع .
سس صص صص
سس
جـ ) أكتب المدى وما علاقته بالمجموعة صص ؟
المدى = } 2 ، 5 ، 8 ، 11 { خ صص
9 ) إذا كانت سس = }ثقيل ، طويل ، كبير ، بعيد{ ، ص = } خفيف ، صغير ، قريب ، قصير {
مثل بواسطة الرسم السهمي العلاقة بين المجموعتين والتي قاعدتها ( ... ضد لـ ... ) .
سس صص
( 1 – 4 ) أنواع التطبيقات :
1 ) حددي نوع كل تطبيق فيما يلي مع ذكر السبب :
أ ) تطبيق تقابل " لأنة وصل إلى كل عنصر في المجال المقابل سهم واحد فقط "
ب ) تطبيق شامل " لأنه وصل إلى كل عنصر في المجال المقابل سهم أو أكثر "
جـ ) تطبيق شامل " لأنه وجد على كل خط أفقي نقطة أو أكثر "
د ) تطبيق متباين " لأنه وجد على كل خط أفقي نقطة أو أقل "
هـ ) تطبيق متباين " لأنه وجد على كل خط أفقي نقطة أو أقل "
2 ) إذا كانت : سس = }1 ، 3 ، 5 ، 7{ ، ص = } 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 10 { ،
الجدول التالي يبين تطبيقاً من سس إلى صص ، حدد نوعه ومداه وقاعدته .
س 1 3 5 7
ت ( س ) 3 5 7 9
سس صص
بعد تمثيل التطبيق بواسطة الرسم السهمي نجد أن :
التطبيق يمثل تطبيق متباين لأنه وصل إلى كل عنصر في المجال المقابل سهم أو أقل .
المدى = } 3 ، 5 ، 7 ، 9 {
القاعدة : ت ( س ) = س + 2
3 ) إذا كانت : سس = }∆ ، □ ، ⌂{ ، ص = } 3 ، 5 ، 4 { ،
أ ) ما هي قاعدة العلاقة ع بين سس وَ صص ، ومثلها بواسطة الرسم السهمي .
قاعدة العلاقة : ( ... عدد أضلاعه ... ) سس صص
ب ) إذا كان ع تطبيقاً فما نوعه وما مداه ؟
نوعه : " تطبيق تقابل "
المدى = } 3 ، 5 ، 4 {
4 ) الجدول التالي يبين تطبيقاً ت من سس إلى صص حيث :
سس = }3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11{ ، ص = } 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 {
س 3 5 7 9 11
ت ( س ) 5 7 9 11 13
أ ) ت (3) = 3 + 2 ، ت (5) = 5 + 2 ، ت (7) = 7 + 2 ،
ت (9) = 9 + 2 ، ت (11) = 11 + 2
ب ) حدد قاعدة للتطبيق ت .
ت (س) = س + 2 سس صص
جـ ) مثل ت بواسطة الرسم السهمي وما نوعه .
نوعه : تطبيق تقابل
5 ) إذا كان ت : ك تت سس حيث سس مجموعة الأعداد الزوجية ، ت(س) = 2س لأي س ي ك
أ ) احسب :
ت (0) = 2(0) = 0 ، ت (15) = 2(15) = 30 ، ت (21) = 2(21) = 42
ب ) احسب س إذا كانت : ت (س) = 40
س = 40 ÷ 2 = 20
جـ ) لماذا ت تطبيقاً من : ك إلى سس ؟
لأنه لكل عدد كلي ي ك يوجد له نظير ي سس يحقق العلاقة : ت(س) = 2س
د ) حدد مدى ت .
المدى = سس مجموعة الأعداد الزوجية .
هـ ) هل ت تقابل ولماذا ؟
نعم تقابل لأنه لكل عدد كلي ي ك يوجد له نظير وحيد ي سس يحقق العلاقة : ت(س) = 2س
6 ) سس = مجموعة الأعداد الفردية الأكبر من 2 والأصغر من 10 ، عرفنا التطبيق ت : سس تت ك
حيث : ت (س) = س + 3 لأي س ي سس .
أ ) حدد مدى ت ، ما نوع هذا التطبيق ؟ ولماذا ؟
سس = } 3 ، 5 ، 7 ، 9 {
ت (3) = 3 + 3 = 6 ، ت (5) = 5 + 3 = 8 ، ت (7) = 7 + 3 = 10 ، ت (9) = 9 + 3 = 12
المدى = } 6 ، 8 ، 10 ، 12 {
نوع التطبيق تباين لأن كل عنصر من ك على علاقة أو أقل مع عناصر سس .
ب ) أوجد س إذا كان : ت (س) ي } 4 ، 6 ، 9 {
ت ( س ) = 4 تت س = 1 ، ت ( س ) = 6 تت س = 3 ، ت ( س ) = 9 تت س = 6
إذاً : س ي } 1 ، 3 ، 6 {
الفصل الثاني :
( 2 – 1 ) مجموعة الأعداد النسبية :
1 ) صل كل عدد نسبي في المجموعة ( أ ) بما يساويه من أعداد نسبية في المجموعة ( ب ) .
المجموعة أ - $؛5 ^؛8 _؛- ؛#5؛ $؛- ؛ ؛9
المجموعة ب )؛2 1 _ ؛9$؛ - *؛0 1؛ )؛5 1؛ - *؛5
2 ) أوجد الأعداد النسبية التي تحقق :
أ ) -4 س = -9 تت _- ؛$4؛ س = _- ؛)4؛ تت س = )؛4
( في كل مرة نرتب المعادلة ثم نقسم على معامل س لإيجاد قيمة س )
ب ) 3س – س = 70 تت 2س = 70 تت س = 35
جـ ) 2س + 1 = س – 5 تت 2س – س = -5 -1 تت س = -6
د ) س + 4 = 4 تت س = 4 – 4 تت س = 0
هـ ) -8 = 4س تت س = - 2
و ) 5 + س = 3س – 4 تت س – 3س = -4 -5 تت -2س = -9 تت س = )؛2
3 ) أوجد العدد الصحيح الذي يحقق كلاً من :
أ ) %؛8!1؛ = ؛س- ؛ 6؛ ( بضرب طرفين في وسطين ) 18 س = - 90 تت س = - 5
ب ) _؛ ؛سس^؛ = @؛5 تت 2س = -30 تت س = - 15
جـ ) -؛س؛ ؛5 = ^5؛ 1؛ تت 15 س = - 30 تت س = - 2
د ) س؛8 = 16 تت س = 128
4 ) أوجدي الأعداد النسبية المتساوية التي نتجت عنها المساواة فيما يلي :
أ ) 3 × 12 = 4 × 9 تت $؛3 = @؛9!؛
ب ) 3 × ( -4 ) = 6 × ( -2 ) تت ^؛3 = _-؛ ؛$2؛
جـ ) -2 × 10 = -5 × 4 تت _-؛ ؛%؛2 = (؛!4؛
5 ) أوجد العدد الصحيح ب فيما يلي :
أ ) ؛-*؛2 1؛ = ب؛ -؛ +؛8 1؛%؛ تت -12( ب + 5 ) = 8 × - 18 تت -12 ب – 60 = - 144
تت -12 ب = -144 + 60 تت -12 ب = - 84 تت ب = 7
ب ) ^؛8 = ب؛ ؛+2؛ 1؛!؛!؛ تت 8 ( ب + 11 ) = 6 × 12 تت 8ب + 88 = 72
تت 8 ب = 72 – 88 تت 8 ب = - 16 تت ب = - 2
جـ ) ب؛_؛6 ؛%؛ = ^؛4 تت 4 ( ب – 5 ) = 6 × 6 تت 4 ب – 20 = 36
تت 4 ب = 36 + 20 تت 4 ب = 56 تت ب = 14
6 ) عين فيما يلي الأعداد النسبية المبسطة بأبسط شكل وبسط الأعداد الأخرى .
- #؛7 ( في أبسط شكل ممكن )
%؛5!؛7 ؛ ( بقسمة البسط والمقام على 15 ) = !؛5
*0؛ 0؛ 1؛ = ( بقسمة البسط والمقام على 4 ) = @5؛ 2؛
^-؛ 1؛1 1؛ ( في أبسط شكل ممكن )
)-؛ ؛ 9؛1 1؛ ( في أبسط شكل ممكن )
_5؛ ؛$0؛$1؛ ( في أبسط شكل ممكن )
( 2 – 2 ) ضرب الأعداد النسبية وقسمتها :
1 ) املأ الفراغات بما يناسبها :
أ ) – 6 × &-؛ ؛6 = @؛؛6$؛ = 7 ب ) -3 × _- ؛@3؛ = -2 جـ ) -5 × #-؛ ؛5 = 3
د ) 7 × _ ؛!7؛ = -1 هـ ) 4 × _ ؛%4؛ = -5 و ) ا × ب؛أ = ب
2 ) تمم عمليات الضرب التالية ، وبسط الناتج .
أ ) %؛7 × _ 0؛$2؛!؛ = - (؛0&4؛ 1؛ = - !؛2 هـ ) $-؛ 7؛ × _؛%8؛ × *؛0 ؛1 = (؛0^6؛!5؛ = @؛7
ب ) *؛9^؛ × !7؛*1؛ = *؛(؛3%5؛%1؛ = @؛7!؛1^؛ = 36 و ) !-؛@5؛ 1؛ × _ ؛%9؛ × #؛7 = %؛5!4؛#9؛ = !؛3
جـ ) -6 × _ ؛%6؛ = 5 ز ) -1 × #؛5 = - #؛5
د ) $؛7 × &؛4 = 1 ح ) _5 ؛1$؛ × _ ؛%4؛ 2 = _5 ؛1$؛ × _ ؛#4؛!؛ = @؛0%؛6 = #؛5!1؛
3 ) أوجد المعكوس الضربي لكلاً مما يلي :
العدد @-؛ ؛ 5؛ _ ؛$6؛ @؛1!1؛ -9 س س ص ن/- ر ن/ ر × 1/ ر
معكوسة الضربي _ ؛%2؛ -^؛4 !2؛!1؛ -!؛9 ! ؛سس ؛!سس؛ ؛ صص - ر/ن ر/ ن × ر
4 ) احسب قيمة س إذا كان كلاً مما يأتي مؤلف من عددين متعاكسين في الضرب :
أ ) %2؛ ؛ ؛ سس وَ _ ^؛5 تت 2س × 5 = - 6 × 5 تت 10س = - 30 تت س = - 3
ب ) س3؛ وَ _@2؛ 1؛ تت -2 × س = 3 × 12 تت -2 س = 36 تت س = - 18
جـ ) @؛5 3 وَ %؛4$3؛ ؛ ؛س؛ تت &5؛!؛ وَ %؛4$3؛ ؛ ؛س؛ تت 45س × 17 = 5 × 34
تت 765س = 170 تت س = $3؛#5؛ ؛1 = @9؛
5 ) تمم عمليات القسمة التالية بأبسط شكل :
أ ) $5؛ 1؛ ÷ _- ؛*3؛ = $5؛ 1؛ × _- ؛#8؛ = @0؛!2؛ 1؛ = !0؛ 1؛
ب ) _ ؛*؛7 1؛ ÷ _)؛1 ؛5 = _؛*؛7 ؛1 × _!؛9%؛ = *؛3(5؛$1؛ = ^؛1#؛5!؛ = *3؛
جـ ) )؛2 ÷ 7 = )؛2 × !؛7 = )4؛ 1؛
د ) 4 ÷ *؛7 = 4 × &؛8 = *؛8@؛ = &؛2
هـ ) 1 ÷ _$؛5 = 1 × -%؛ ؛4 = -%؛ ؛4
و ) &؛6@؛1 ÷ )؛8 = &؛6@؛1 × *؛9 = ^؛4!؛4@؛1 = #؛2
6 ) يتلو طالب خمسة أجزاء من القرآن الكريم خلال %؛2 ساعة ، كم يلزمه من الوقت لختم القرآن الكريم ؟
القرآن يتكون من 30 جزء ، 30 ÷ 5 = 6 × %2؛ = (؛#2؛ = 15 ساعة
7 ) من وحدات الكيل الإسلامية الصاع ،( الصاع = 4 أمداد ، الصاع = &؛2 لتر تقريباً ) حول ما يلي :
أ ) 3 أصواع إلى أمداد . 3 × 4 = 12 مد .
ب ) 12 مداً إلى أصواع . 12 ÷ 4 = 3 أصواع .
جـ ) 16 صاعاً إلى لترات . 16 × &2؛ = @؛2!؛!؛ = 56 لتر .
د ) 28 لتراً إلى أصواع . 28 ÷ &2؛ = 28 × @؛7 = ^؛7%؛ = 8 أصواع .
8 ) علبة تسع 7 لترات من ماء ، كم صاعاً من الدقيق يمكن وضعة في العلبة ؟
7 ÷ &2؛ = 7 × @؛7 = 2 صاع ( صاعين ) .
9 ) غرفة مستطيلة الشكل مساحتها !؛2 12 م@ ، ما عرض الغرفة إذا كان طولها #؛4 3 م ؟
مساحة المستطيل = الطول × العرض
!؛2 12 = #؛4 3 × العرض تت %؛@2؛ = %؛!4؛ العرض تت %؛@2؛ × $5؛ 1؛ = العرض
العرض = (؛0(3؛!؛ = (3؛!؛ = !3؛ 3 م .
( 2 – 3 ) جمع الأعداد النسبية وطرحها :
1 ) أوجد ناتج كلاً مما يأتي بأبسط صورة :
أ ) &5؛ 1؛ + _)5؛ 1؛ = _ 5؛@1؛ ب ) %4؛ 1؛ + @؛7 = %؛4 1؛ + @7؛ خ؛؛خخ@2؛ = %4؛ 1؛ + $4؛ 1؛ = )؛4 1؛
جـ ) - &؛2 1؛ + #؛4 = - &؛2 1؛ + )؛2 1؛ = @؛2 1؛ = !؛6 د ) !؛4 + 8= !؛4 + *؛1 = !؛4 + @؛#؛4 = #؛#؛4
هـ ) $؛7 + (- #؛5 ) = (؛5@؛3 + - !5؛@3؛ = - !5؛ ؛3 و) - %؛6 + (- #8؛ )= - (؛4@؛2 +(- )؛4 2؛)= - )؛4@؛2
ز ) &؛2 ؛1 + *؛5 ؛1 = %؛0#؛6 + @؛0#؛6 = &0؛^6؛ ح ) *7؛ 1؛ + (-3) = *7؛ 1؛ + _#1؛ = *7؛ 1؛ + _!7؛%1؛ = _#7؛$1؛
2 ) اجمع الأعداد النسبية التالية بتوحيد مقاماتها وبسط ناتج الجمع :
أ ) %؛8 + ( - #4؛ ) + #6؛!؛ (نبحث عن المعامل المشترك الأصغر بين المقامات فنجد أنه 24 نوحد المقامات على 24)
= %8؛خ خخ؛#3؛ + ( - #4؛خ خخ؛^6؛ ) + #6؛!؛خ خخ؛$4؛ = %؛!؛+؛ ؛_؛*؛4!2؛+؛ ؛@؛%؛ = )4؛$؛2
ب ) ( _#؛7 ) + ( - !؛6 ) + @؛5 ( المعامل المشترك الأصغر بين المقامات هو 210 )
= _#؛7خ خخ؛(؛0#3؛ + - !6؛خ خخ؛%5؛#3؛ + @؛5خ خخ؛@2؛$4؛ = _(0؛)1؛ 2؛ + - %0؛#1؛ 2؛ + $0؛*1؛ 2؛ = - !0؛$1؛ 2؛
جـ ) %؛9 + &8؛ 1؛ + @7؛@2؛ ( المعامل المشترك الأصغر بين المقامات هو 54 )
= %9؛خ خخ؛^6؛ + &8؛ 1؛خ خخ؛#3؛ + @7؛@2؛خ خخ؛@2؛ = (4؛#5؛ + !4؛@5؛ + $4؛$5؛ = %4؛)5؛
3 ) ما هو المعكوس الجمعي لكلاً من الأعداد التالية :
العدد _-#؛7 _ ؛$6؛ -^1؛ 1؛ *7؛!1؛ - $؛5 0 5 - 8
معكوسة الجمعي - #؛7 $؛6 ^1؛ 1؛ - *7؛!1؛ $؛5 0 - 5 8
4 ) أوجد ناتج الطرح في كلاً مما يلي :
أ ) !؛2 – (- #؛4 ) = !؛2 + #؛4 = @؛4 + #؛4 = %؛4
ب ) _&1؛ 1؛ - _)2؛ 1؛ = _&1؛ 1؛ + )2؛ 1؛ = _$2؛*3؛ 1؛ + )2؛)3؛ 1؛ = %2؛!3؛ 1؛ = %4؛ 4؛
جـ ) %4؛ 2؛ - &6؛ 1؛ = %4؛ 2؛ + _؛&6؛ 1؛ = (8؛!4؛ + _؛!8؛@4؛ = _؛!8؛!4؛
د ) _#؛4 - _^؛5 = _%0؛!2؛ + $0؛@2؛ = )0؛ 2؛
هـ ) &؛9 - (- !؛2 ) = $8؛!1؛ + )8؛ 1؛ = #8؛@1؛
و ) -#؛4 - -@؛3 = -#؛4 + @؛3 = -)2؛ 1؛ + *2؛ 1؛ = - !؛2 1؛
5 ) أوجد ناتج كلاً مما يأتي :
أ ) $؛9 + _@؛9 = ( $؛9 + _@؛9 ) ÷ 2 = @؛9 ÷ 2 = @؛9 × !؛2 = @8؛ 1؛ = !؛9
@
ب ) !؛2 + #؛4 = ( !؛2 + #؛4 ) ÷ ( @؛3 - $؛5 ) = ( @؛4 + #؛4 ) ÷ ( (5؛!1؛ - @5؛!1؛ )
@؛3 - $؛5
= %؛4 ÷ - @5؛ 1؛ = %؛4 × - %2؛!؛ = - %8؛&؛
جـ ) _!؛2 - -#؛4 = ( _!؛2 - -#؛4 ) ÷ ( -@؛3 - _$؛5 ) = ( _@؛4 + #؛4 ) ÷ ( -(5؛!1؛ + @5؛!1؛ )
- @؛3 - _$؛5
= !؛4 ÷ @5؛ 1؛ = !؛4 × %2؛!؛ = - %8؛!؛
6 ) إذا كانت س = @؛8 ، فاحسب قيمة كلاً من العبارات التالية :
أ ) س + !؛3 = @؛8 + !؛3 = ^4؛ 2؛ + *4؛ 2؛ = $4؛!2؛ = &2؛ 1؛
ب ) 2س + 1 =2× @؛8 + !؛1 = $؛8 + !؛1 = !2؛ + !1؛ = !2؛ + @2؛ = #2؛
جـ ) 3 – 4س = 3 – 4×@؛8 = 3 – *8؛ = 3 – 1 = 2
7 ) في أحد أيام الشتاء بلغت درجة الحرارة العظمى في تبوك !2؛ 13 ْ ، وبلغت درجة
الحرارة الصغرى - !4؛ 1 ْ ، ما الفرق بين الدرجتين ؟
الفرق بين الدرجتين = !2؛ 13 – (- !4؛ 1) = !2؛ 13 + !4؛ 1 = &2؛@؛ + %4؛ = $4؛%؛ + %4؛ = )4؛%؛ ْ= #4؛ 14 ْ
8 ) يملك خالد وياسر مبلغين متساويين من المال . أنفق خالد %7؛ ما يملك وأنفق ياسر جزءً من ماله
حيث أبقى لدية !؛5 ما يملك . أيهما أنفق أكثر ؟
مقدار ما أنفقة ياسر = 1- !؛5 = %5؛ - !5؛ = $5؛
نقارن بين الكسرين %7؛ ، $5؛
%7؛خ خخ؛%5؛ = %5؛@3؛ < $5؛خ خخ؛&7؛ = *5؛@3؛
إ مقدار ما أنفقة ياسر أكثر من مقدار ما أنفقه خالد .
( 2 – 4 ) مقارنة الأعداد النسبية وتمثيلها على خط الأعداد :
1 ) قارن بين كل عددين فيما يلي :
أ ) &2؛ 1؛ ، #؛4 تت &2؛ 1؛ آ~ #؛4خ خخ؛#3؛ = )2؛ 1؛
ب ) _%6؛ ، - )1؛ 1؛ تت _%6؛خ خخ؛!1؛!1؛ = - %6؛%6؛ آ~ - )1؛ 1؛خ خخ؛^6؛ = - $6؛%6؛
جـ ) -_ ؛%3؛ ، - %3؛ تت -_ ؛%3؛ = %3؛ ى~ - %3؛
د ) #؛7 1 ، (؛4@1؛ تت (7؛!؛ =~ (؛4@1؛ = (7؛!؛
هـ ) #؛8 2 ، %0؛!4؛ تت )8؛!؛ ى~ %0؛!4؛ = #؛8
و ) )8؛ ، *9؛ تت )8؛خ خخ؛)9؛ = !2؛*7؛ ى~ *9؛خ خخ؛*8؛ = $2؛^7؛
2 ) رتب الأعداد التالية في كلاً مما يلي تصاعدياً .
أ ) %؛6 ، !2؛ ، - &2؛ 1؛ ، - *9؛ ( نقارن بين الأعداد السالبة على حده والموجبة على حده ثم نرتبها تصاعدياً ابتداء بالسالبة الأقل )
- &2؛ 1؛خ خخ؛#3؛ = - !6؛@3؛ ى~ - *9؛خ خخ؛$4؛ = - @6؛#3 ، %؛6 ى~ !2؛خ خخ؛#3؛ = #6؛
الترتيب تصاعدياً : - *9؛ ، - &2؛ 1؛ ، !2؛ ، %6؛
3 ) فيما يلي تتزايد الأعداد بمقدار ثابت . ما مقدار التزايد ؟ وما هي الأعداد الخمسة التي تليها مباشرة ؟
أ ) - )3؛ 1؛ ، - ^3؛ 1؛ ، - #3؛ 1؛
لإيجاد مقدار التزايد نطرح العدد الأول من الثاني : - ^3؛ 1؛ - (- )3؛ 1؛ ) = - ^3؛ 1؛ + )3؛ 1؛ = #3؛ 1؛
- #3؛ 1 + #3؛ 1؛ = 0 ، 0 + #3؛ 1؛ = #3؛ 1؛ ، #3؛ 1؛ + #3؛ 1؛ = ^3؛ 1؛ ، ^3؛ 1؛ + #3؛ 1؛ = )3؛ 1 ، )3؛ 1+ #3؛ 1؛ = @3؛!1؛
ب ) !؛6 ، !3؛ ، !2؛ مقدار التزايد = !3؛ - !6؛ = @6؛ - !6؛ = !6؛
!؛2 + !6؛ = #6؛ + !6؛ = $؛6 = @3؛ ، @3؛ + !6؛ = $6؛ + !6؛ = %6؛ ، %6؛ + !6 = ^6؛ = 1
1 + !6؛ = ^6؛ + !6؛ = &6؛ ، &6؛ + !6؛ = *6؛ = $3؛
4 ) فيما يلي تتناقص الأعداد بمقدار ثابت.ما مقدار التناقص؟ وما هي الأعداد الخمسة التي تليها مباشرة ؟
أ ) &2؛ 1؛ ، !3؛ ، !2؛ 1؛
مقدار التناقص يساوي حاصل طرح العدد الثاني من الأول = &2؛ 1؛ - !3؛ = &2؛ 1؛ - $2؛ 1؛ = #2؛ 1؛ = !4؛
!2؛ 1؛ - !4؛ = !2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - @2؛ 1؛ = - !6؛ ، - !6؛ - !4؛ = - @2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - %2؛ 1؛
- %2؛ 1؛ - !4؛ = - %2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - *2؛ 1؛ = - @3؛ ، - @3؛ - !4؛ = - *2؛ 1؛ - #2؛ 1؛ = - !2؛!1؛
- !2؛!1؛ - !4؛ = - !2؛!1؛ - #2؛ 1؛ = - $2؛!1؛ = - &6؛
5 ) أ ) هات عدداً نسبياً يقع بين العددين !2؛ ، !4؛ ؟
نوحد مقامات الكسرين ومن ثم نوجد عدد يقع بين بسطيهما ونكون منه كسر بنفس المقام المشترك
!2؛ = $؛8 ، !4؛ = @؛8 ( البسطين هما : 4 ، 2 بينهما 3 فيكون الكسر المطلوب ، #؛8 )
ب ) هات أربعة أعداد نسبية تقع بين العددين : - @3؛ ، !4؛
نوحد مقامات الكسرين على 12 فيكون :
- @3؛ = - *2؛ 1؛ ، !4؛ = #2؛ 1؛
بين بسطيهما : - 8 ، 3يوجد مجموعة من الأعداد الصحيحة يكفينا منها أربعة ولتكن: 2 ، 1 ، - 1 ، - 2
نكون منها الكسور المطلوبة كالتالي : @2؛ 1؛ = !6؛ ، !2؛ 1؛ ، - !2؛ 1؛ ، - @2؛ 1؛ = - !6؛
6 ) مثل الأعداد التالية على خط الأعداد :
أ ) !؛4 ، !؛4 2 ، - #4؛ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( 2 – 5 ) تبسيط العبارات العددية :
1 ) هل العبارات التالية صحيحة ؟ تحقق من ذلك .
أ ) ( !2؛ + !4؛ ) × 8 = !2؛ + !4؛ × 8 ( عبارة خاطئة )
الطرف الأيمن : ( !2؛ + !4؛ ) × 8 = ( @4؛ + !4؛ ) × 8 = #4؛ × 8 = $4؛@؛ = 6
الطرف الأيسر : !2؛ + !4؛ × 8 = !2؛ + *4؛ = @4؛ + *4؛ = (4؛!؛ = %2؛ الطرفان غير متساويان
ب ) !3؛ - ( !4؛ × @3؛ ) = !3؛ - !4؛ × @3؛ ( عبارة صحيحة )
الطرف الأيمن : !3؛ - ( !4؛ × @3؛ ) = !3؛ - @2؛ 1؛ = $2؛ 1؛ - @2؛ 1؛ = @2؛ 1؛ = !6؛
الطرف الأيسر : !3؛ - !4؛ × @3؛ = !3؛ - @2؛ 1؛ = $2؛ 1؛ - @2؛ 1؛ = @2؛ 1؛ = !6؛ الطرفان متساويان
2 ) جد المعكوس الجمعي لكلاً من العبارات التالية :
أ ) ( $5؛ + - *5؛ ) معكوسها = - ( $5؛ + - *5؛ ) = ( - $5؛ + *5؛ )
ب ) ( - &6؛ + - #0؛!3؛ ) معكوسها = - ( - &6؛ + - #0؛!3؛ ) = ( &6؛ + #0؛!3؛ )
جـ ) ( !3؛ - - %7؛ ) معكوسها = - ( !3؛ - - %7؛ ) = ( - !3؛ - %7؛ )
د ) ( @5؛ + _$5؛ 1؛ + _*5؛ 2؛ ) معكوسها = - ( @5؛ + _$5؛ 1؛ + _*5؛ 2؛ ) = ( - @5؛ + $5؛ 1؛ + *5؛ 2؛ )
3 ) جد المعكوس الجمعي لكلاً من العبارات التالية :
أ ) ( س – ص + ع ) معكوسها = - ( س – ص + ع ) = ( - س + ص – ع )
ب ) ( س – ص – ع ) معكوسها = - ( س – ص – ع ) = ( - س + ص + ع )
جـ ) – ( - س + ص – ع ) معكوسها = - ( - س + ص – ع ) = ( - س + ص – ع )
4 ) احسب بفك الأقواس كلاً مما يلي :
أ ) – 1+] ( !3؛ - !4؛ ) – ( #2؛ - %4؛ + @3؛ )[ =– 1+] !3؛ - !4؛ - #2؛ + %4؛ - @3؛ [ = -1+ ] - !3؛ + $4؛ - #2؛ [
= -1 + ] - @6؛ - )6؛ + 1 [ = -1- !6؛!؛ + 1 = - !6؛!؛
ب ) #0؛ 1؛ - ] ( @5؛ - !3؛ + *5؛ 1؛ ) + ( - $0؛ 3؛ - &0؛ 6؛ ) [
= #0؛ 1؛ - ] ( ^5؛ 1؛ - %5؛ 1؛ + *5؛ 1؛ ) + ( - *؛0 6؛ - &0؛ 6؛ ) [
= #0؛ 1؛ - ] )5؛ 1؛ - %0؛!6؛ [ = #0؛ 1؛ - ] ^0؛#6؛ - %0؛!6؛ [ = #0؛ 1؛ - ] !؛0@؛6 [ = *0؛!6؛ - !؛0@6؛ = - #0؛ 6؛ = - !0؛ 2؛
جـ ) !2؛ - } !4؛ - ] ( @7؛ + !4؛ ) – ( @7؛ + !2؛ ) [ {
= !2؛ - } !4؛ - ] @7؛ + !4؛ - @7؛ - !2؛ [ { = !2؛ - } !4؛ - ] !4؛؛ - !2؛ [ { = !2؛ - } !4؛ - ] !4؛؛ - @4؛ [ {
= !2؛ - } !4؛ - ] - !4؛؛ [ { = !2؛ - } !4؛ + !4؛؛ { = !2؛ - } @4؛ { = !2؛ - } !2؛ { = !2؛ - !2؛ = 0
د ) 5 – } – 1- ] ( 6 – 9 ) – ( !4؛ + !3؛ ) [ {
= 5 – } -1- ] -3 - !4؛ - !3؛ [ { = 5 – } -1- ] -3 - #2؛ 1؛ - $2؛ 1؛ [ {
=5 – } -1- ] -3 - &2؛ 1؛ [ { =5 – } -1- ] - ^2؛#1؛ - &2؛ 1؛ [ {
= 5 – } -1- ] - #2؛$1؛ [ { = 5 +1- #2؛$1؛ = 6 – #2؛$1؛ = @2؛&1؛ – #2؛$1؛ = )2؛@1؛
5 ) أ ) ما العدد الذي إذا ضُرب في المقدار : @5؛ + _#4؛ ، كان الناتج يساوي !6؛ ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س × (@5؛ + _#4؛ ) = !6؛ تت س × ( *0؛ 2؛ + _%0؛!2؛ ) = !6؛ تت س × _&0؛ 2؛ = !6؛ تت س = !6؛ × -(7؛@؛
تت س = - (1؛!2؛
ب ) ما العدد الذي إذا قُسم على المقدار : ( !3؛ + %6؛ ) × @7؛ ، كان الناتج : - #2؛ ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س ÷ ] ( !3؛ + %6؛ ) × @7؛ [ = - #2؛ تت س ÷ ] ( @؛6 + %6؛ ) × @7؛ [ = - #2؛ تت س ÷ ] &؛6 × @7؛ [ = - #2؛
تت س ÷ ] !3؛ [ = - #2؛ تت س × 3 = - #2؛ تت 3س = - #؛2 تت س = - !2؛
جـ ) ما العدد الذي إذا أُضيف إلى المقدار : ( ^5؛ - @7؛ ) × &8؛ ، كان الناتج 1 ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س + ] ( ^5؛ - @7؛ ) × &8؛ [ = 1 تت س+] ( @5؛$3؛ - (5؛!3؛ ) × &8؛ [ = 1 تت س+] ( @5؛#3؛ ) × &8؛ [ = 1
س+] $؛5 [ = 1 تت س = - $5؛ +1 تت س = !5؛
د ) ما العدد الذي إذا طُرح منه المقدار : ( !2؛ + #7؛ ) ÷ ( !3؛ + _$5؛ ) ، كان الناتج - _#5؛ ؟
نفرض أن هذا العدد س فيتكون لدينا المعادلة :
س - ] ( !2؛ + #7؛ ) ÷ ( !3؛ + _$5؛ ) [= - _#5؛ تت س - ] ( &4؛ 1؛ + ^4؛ 1؛ ) ÷ ( %؛5 1؛ + _@5؛!1؛ ) [= - _#5؛
س - ] #4؛!1؛ ÷ _&5؛ 1؛ [= - _#5؛ تت س- ] #4؛!1؛ × _%7؛!؛ [= - _#5؛ تت س+ %8؛)؛9!؛ = - _#5؛
س= - %8؛)؛9!؛ + #؛5 س = - !؛0؛*؛9^؛4
6 ) احسب ما يلي :
أ ) ] ( 1 - !2؛ ) ÷ ( _!5؛ + _@3؛ ) [ × ( #4؛ ÷ #8؛ ) = ] ( @2؛ - !2؛ ) ÷ ( _#5؛ 1؛ + _(5؛!1؛ ) [ × ( #4؛ × *؛3 )
= ] !2؛ ÷ _#5؛!1؛ [ × 2 = ] !2؛ × _%3؛!1؛ [ × 2 = ] _%6؛!2؛ [ × 2 = _%3؛!1؛
ب ) ] 5 × ( @3؛ - $5؛ ) [ ÷ ] )7؛ × ( !3؛ + @5؛ ) [ = ] 5 × ( (5؛!1؛ - @5؛!1؛ ) [ ÷ ] )7؛ × ( %5؛ 1؛ + ^5؛ 1؛ ) [
= ] 5 × - @5؛ 1؛ [ ÷ ] )7؛ × !5؛!1؛ [ = ] - @3؛ [ ÷ ] #5؛#3؛ [ =] - @3؛ [ × ] %3؛#3؛ [ = - (9؛&9؛
جـ ) ( @3؛ - $5؛ - #7؛ ) ÷ ] ( !7؛ + _@5؛ ) × #4؛ [ = ( (5؛&0؛ 1؛ - $5؛*0؛ 1؛ - %5؛$0؛ 1؛ ) ÷ ] ( %5؛ 3؛ + _$5؛!3؛ ) × #4؛ [
= (- )5؛%0؛ 1؛ ) ÷ ] _)5؛ 3؛ × #4؛ [ = (- )5؛%0؛ 1؛ ) ÷ ] _&0؛@4؛ 1؛ [ = (- )5؛%0؛ 1؛ ) × ] _(7؛$2؛!؛ [ =- ^1؛#8؛@؛
( 2 – 6 ) الكتابة العشرية :
1) حدد مسبقاً ( دون قسمة ) فيما يلي الأعداد العشرية والأعداد الدورية مع ذكر السبب .
!2؛@1؛ = &4؛ = &؛2 2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 2@ )
@2؛@1؛ = !6؛!؛ = !؛2!؛؛ خخ؛ 3؛ ( عدد دوري لأن مقامة ليس من قوى العشرة حيث يحتوي على 3)
@5؛$3؛ = ^5؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو: 5)
$5؛@2؛ = $؛5@2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5@)
&8؛&8؛ = &؛8 = &؛2 3 ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 2#)
%8؛$8؛ = %؛1 1؛خ خخ؛)8 ؛ = ( عدد دوري لأن مقامة ليس من قوى العشرة حيث يحتوي على 11)
*5؛$7؛ = ^5؛!2؛ = ^5؛!2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5@)
*5؛#6؛ = @5؛ ؛خ خخ؛)3؛!1؛ ( عدد دوري لأن مقامة ليس من قوى العشرة حيث يحتوي على 13)
@0؛&5؛ = ^5؛#2؛ = ^5؛#2؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5@ )
)5؛#6؛ = #؛5 خ؛ خخ؛#3!1؛ = #5؛ ( عدد عشري لأن مقامة من قوى العشرة وهو : 5 )
2 ) بسطي الأعداد النسبية التالية ثم أضربي حدي كلاً منها بالعدد المناسب كي تتحول إلى أعداد عشرية .
!5؛@7؛ = &5؛ 2؛ = &5؛؛ ؛2؛ ( بضرب البسط والمقام بـ 2@ ) = *0؛@0؛ 1؛ = 0،28
%4؛#1؛ = &7؛ ؛خ خخ؛%2؛ = %2؛ ( بضرب البسط والمقام بـ 5 )= %0؛@1؛ = 2،5
#6؛^3؛ = )9؛ خ؛ خخ؛&؛4؛ = &4؛ = &؛2 2 ( بضرب البسط والمقام بـ 5@ ) = %0؛&0؛!1؛ = 1،75
)6؛$5؛ = &7؛ ؛خ خخ؛&8 ؛ = &8؛ = &؛2 3 ( بضرب البسط والمقام بـ 5# ) = %0؛&0؛*0؛ 1؛ = 0،875
^5؛@6؛ = #3؛!1؛خ خخ؛@5؛ = @؛5 ( بضرب البسط والمقام بـ 2 )= $0؛ 1؛ = 0،4
%8؛!4؛ = #3؛خ خخ؛%6؛ 1؛ = %؛6 1؛ = %2؛ 4 ( بضرب البسط والمقام بـ 5$ ) = %0؛@؛0؛!؛0#؛0 ؛1 =0،3125
4 ) أكتب كلاً من الأعداد العشرية التالية على صورة بسط ومقام وبأبسط شكل ممكن .
0،5 = %0؛ 1؛ = !2؛ 0،25 = %0؛@0؛ 1؛ = !4؛ 0،125 = %0؛@0؛!0؛ 1؛ = !8؛ 0،2 = @0؛ 1؛ = !5؛
0،04 = $0؛ 0؛ 1؛ = !5؛ 2؛ 0،008 = *0؛ 0؛ 0؛ 1؛ = !5؛ 2؛ 1؛ 0،0016 = ^0؛!0؛ 0؛ 0؛ 1؛ = !5؛ 2؛ 6؛
5 ) قرب إلى عدد عشري . ( يتم الحل بقسمة البسط على المقام قسمة مطولة )
أ ) )5؛#2؛ ( حتى العُشر ) = 1،56 ت 1،6
ب ) !99؛@1؛ ( حتى الجزء من مئة ) = 1،105263158 ت 1،11
جـ ) &6؛!1؛ ( حتى الجزء من ألف ) = 1،0625 ت 1،063
6 ) أ ) قرب العدد 2،45 ، ( هو عدد دوري أي يساوي 2،45454545.... )
حتى العُشر = 2،5 ، حتى الجزء من مئة = 2،45 ، حتى الجزء من ألف = 2،455
ب ) قرب الأعداد التالية حتى الجزء من ألف : ( بقسمة البسط على المقام قسمة مطولة )
^1؛@1؛ = 2،363636 ت 2،364 #9؛#9؛!؛ = 1،34343434 ت 1،343
%1؛@2؛ = 1،19047 ت 1،190
7 ) حدد قيم العدد س ، كي تكون الأعداد النسبية التالية أعدادًا عشرية . ( س مؤلف من رقم واحد )
أ ) س؛ 5+1؛ ؛!؛ = س؛ 5+؛ خخ؛!3؛ نلاحظ أن المقام يحتوي على 3 ولا بد من التخلص منها باختصارها مع البسط
حتى يتبقى بالمقام 5 فقط لذالك نحاول إيجاد قيم لـ س عند جمعها مع الواحد تعطينا قيمة يمكن
اختصارها مع 3 طبعاً بشرط أن س مؤلف من رقم واحد كما ذُكر في السؤال وهذه القيم هي :
تت س = 2 أو س = 5 أو س = 8
ب ) @ ؛ س؛ 2+2؛ ؛!؛ = @ ؛ 2س؛ +خخ؛ 1؛!1؛ تت 2س + 1 = 11 تت س = 5
جـ ) % ؛س5 ؛+3؛ ؛@؛ = % ؛س5 ؛+خخ؛ ؛7@؛ تت 5س + 2 = 7 تت س = 1
8 ) حدد قيم العدد س ، كي تكون الأعداد النسبية التالية أعدادًا عشرية . ( س مؤلف من رقمين )
أ ) 5؛س0 1؛ = 1؛س2؛ ؛ خخ؛؛؛؛5 نحاول إيجاد قيمة لـ س يمكن اختصارها مع 21 ليبقى في المقام فقط 5
بشرط أن هذه القيم مؤلفة من رقمين تت س = } 21 ، 42 ، 63 ، 84 {
ب ) 5س4؛ 2؛ = 9س4؛ ؛ خخ؛ 5؛ نحاول إيجاد قيمة لـ س يمكن اختصارها مع 49 ليبقى في المقام فقط 5
بشرط أن هذه القيم مؤلفة من رقمين تت س = } 49 ، 98 {
جـ ) 6س؛ 3؛ = 4؛س خخ؛ ؛9 ؛ نحاول إيجاد قيمة لـ س يمكن اختصارها مع 9 ليبقى في المقام فقط 4
بشرط أن هذه القيم مؤلفة من رقمين
تت س = } 18 ، 27 ، 36 ، 45 ، 54 ، 63 ، 72 ، 81 ، 90 ، 99 {
( 2 – 7 ) قوى عدد نسبي :
1 ) احسب قيمة كلاً من القوى التالية :
( - 5 )# = - 5 × - 5 × - 5 = - 125
( - 4 )_# = ( - 4 × - 4 × - 4 )_!= ( - 64 ) _! = - !4؛ 6؛
( 2 )_$ = ( 2 × 2 × 2 × 2 )_!= ( 16 ) _! = !6؛ 1؛
( - !2؛ ) ^ = - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ × - !2؛ × - !2؛ × - !2؛ = + !؛4؛ 6؛
( #2؛ ) _$ = ( #2؛ × #2؛ × #2؛ × #2؛ ) _!= ( !6؛*5؛ 2؛ ) _!= ^1؛!8؛
( $5؛ ) _!= %4؛ ، ( &9؛ )( = 1
2 ) احسب قيمة س@ × ص# في كلاً من الحالتين التاليتين :
أ ) س = _$5؛ ، ص = !2؛
س@×ص# = (_$5؛ )@ × ( !؛2 )#=( _$5؛ × _$5؛ )×( !؛2 × !؛2 × !؛2 ) = ( ^5؛!2؛ )×( !8؛ ) = ^0؛!0؛ 2؛ = @5؛ 2؛
ب ) س = #4؛ ، ص = _ @5؛
س@×ص# = ( #4؛ )@ × (_ @5؛ )#= ( #4؛؛ × #4؛ )×( _ @5؛ ×_ @5؛ ×_ @5؛ ) = ( )6؛ 1؛)×(_*5؛ 2؛ 1؛) =- @0؛&0؛ 0؛ 2؛ = - )0؛ 5؛ 2؛
3 ) احسب قيمة ( _$9؛ ) س × ( @3؛ )ص في كلاً من الحالتين التاليتين :
أ ) س = 2 ، ص = - 3
( _$9؛ )@ × ( @3؛ )_# = (_$؛9 × _$؛9 ) × ( @3؛ × @3؛ × @3؛ ) _!= ^1؛!8؛ × &8؛@؛ = @3؛
ب ) س = - 1 ، ص = 2
( _$9؛ )_! × ( @3؛ )@ = ( -)4؛ ) × ( $9؛ ) = - 1
4 ) حول الأعداد التالية إلى قوى ذات أس موجب ثم إلى قوى ذات أس سالب :
*7؛ 2؛ = ( @3؛ )# = ( #2؛ )_#
- %7؛@2؛!؛ = ( - %3؛ )# = ( - #5؛ )_#
^1؛!8؛ = ( @3؛ )@ = ( #2؛ )_@
)1؛$8؛ = ( &9؛ )@ = ( )7؛ )_@
5 ) ( أ ) اكتب العدد 0،36 على الشكل ( ا؛ بب)@ 0،36 = ^0؛#0؛ 1؛ = ( ^0؛ 1؛ )@
( ب ) اكتب العدد 0،125 على الشكل ( ا؛ بب)# 0،125 = %0؛@0؛!0؛ 1؛ = ( %0؛ 1؛ )#
6 ) احسب : ( ثم استنتج قاعدة لإشارة قوى عدد نسبي سالب )
( - !2؛ )@ = - !2؛ × - !2؛ = !4؛
( - !2؛ )$ = - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ = !6؛ 1؛
( - !2؛ )^ = - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ = !4؛ 6؛
( - !2؛ )* = - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ × - !2؛ ×- !2؛ = !6؛ 5؛ 2؛
( - !3؛ )! = - !3؛
( - !3؛ )# = - !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ = - !7؛ 2؛
( - !3؛ )% = - !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ = - !3؛ 4؛ 2؛
( - !3؛ )& = - !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ ×- !3؛ = - !؛7؛ 8؛ 1؛ 2؛
نستنتج أن : إذا كان قوى العدد النسبي السالب زوجية كان الناتج موجب
وإذا كانت قوى العدد النسبي السالب فردية كان الناتج سالب .
7 ) اكتب كلاً مما يلي كقوة عدد واحد :
أ ) ( @5؛ )$ × ( %2؛ )_@= ( @5؛ )$ × ( @5؛ )@= ( @5؛ )$+@= ( @5؛ )^
ب ) ( @3؛ )$ × ( $9؛ )# = ( @3؛ )$ × ] ( @3؛ )@[ # = ( @3؛ )$ × ( @3؛ )^ = ( @3؛ )(!
جـ ) ( - !2؛ )_# × ( #6؛ )^ = (- !2؛ )_# × (- !2؛ )^ = (- !2؛ )_#+^ = (- !2؛ )#
د ) ( !5؛ )_$ × ( 25 )_# = ( 5 )$ × ] ( 5 )@ [_# =( 5 )$ × ( 5 ) _^ =( 5 ) _@
هـ ) ] ( !3؛ )_# [$ × ] ( - !3؛ )@ [_@ = ( !3؛ ) _@! × ( - !3؛ )_$ = ( !3؛ ) _@! × ( !3؛ )_$= ( !3؛ ) _^!
8 ) احسب بطريقتين مختلفتين كلاً مما يأتي ، وما علاقة الناتجين ؟
أ ) 1~ ( @3؛ )$ × ( #4؛ )$= ( @3؛ × @3؛ × @3؛ × @3؛ )× ( #4؛ × #4؛ × #4؛ × #4؛ ) = ^1؛!8؛ × !6؛*5؛ 2؛ = !6؛ 1؛
2~ ( @3؛ )$ × ( #4؛ )$= ( @3؛ × #4؛ )$ = ( !2؛ )$ = !2؛× !2؛ × !2؛ × !2؛ = !6؛ 1؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
ب ) 1~ ( !3؛ × ^5؛ )_@= ( ^5؛ 1؛ )_@ = ( @5؛ )_@ = ( %2؛ )@ = %2؛ × %2؛ = %4؛@؛
2~ ( !3؛ × ^5؛ )_@= ( !3؛ )_@× ( ^5؛ )_@= ( #1؛ )@× ( %6؛ )@ = 9 × %6؛@3؛ = %6؛@3؛@؛ = %4؛@؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
جـ ) 1~ ( &2؛ × $1؛ 2؛ )_@= ( *2؛@4؛ )_@ = ( @3؛ )_@ = ( #2؛ )@ = #2؛ × #2؛ = ^4؛؛ = )4؛
2~ ( &2؛ × $1؛ 2؛)_@= ( &2؛ )_@× ( $1؛ 2؛ )_@= ( @7؛ )@× ( !4؛@؛ )@ = $9؛ 4؛ × !6؛$1؛$؛ = $4؛^؛8&؛7!؛ = )4؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
د ) 1~ ( #4؛ )@×( #؛4 )_#= ( #4؛ )@×( $3؛ ) #=( #4؛ × #4؛ )×( $3؛ × $3؛ × $3؛ )= )6؛ 1×$7؛^2؛ = ^2؛&3؛%4؛ = $3؛
2~ ( #4؛ )@× ( #؛4 )_#= ( #4؛ )@_#= ( #؛4 )_!= $3؛
الناتج متساوي في الطريقتين .
9 ) احسب قيمة س فيما يلي :
أ ) ] ( @5؛ )@[ س = ( @5؛ )* تت ( @5؛ )@ س = ( @5؛ )* ( الأساسات متساوية إ الأسس متساوية )
تت 2س = 8 تت س = 4
ب ) ( #4؛ )_@× ( $3؛ ) س = ( #4؛ )_%تت( #4؛ )_@× ( #4؛ )_ س = ( #4؛ )_%تت( #4؛ ) _@_ س = ( #4؛ )_%
تت – 2 – س = - 5 تت س = 3
جـ ) (- @7؛× !6؛)#= (- @7؛) س×( !6؛ )#تت(- @7؛ )#×( !6؛)#= (- @7؛ ) س×( !6؛ )# (نختصر(!6؛)#في الطرفين)
تت (- @7؛ )# = (- @7؛ ) س تت س = 3
د ) ( !2؛ )%×( #4؛ ) س = ( #8؛ )%تت ( #4؛ ) س = ( #8؛ )%÷ ( !2؛ )%تت ( #4؛ ) س = ( #8؛ ÷ !2؛ )%
( #4؛ ) س = ( #8؛ × @1؛ )%تت( #4؛ ) س = ( ^8؛ )%تت( #4؛ ) س = ( #4؛ )%تت س = 5
هـ ) ( @3؛ ) س ÷ ( @3؛ )_@= ( @3؛ )%تت س – (-2 ) = 5 تت س = 3
و ) (- $7؛ )# ÷ (- &4؛ ) س = (- &4؛ )_@تت (- &4؛ ) _# ÷ (- &4؛ ) س = (- &4؛ )_@
تت - 3 – س = - 2 تت س = - 1
10 ) احسب كلاً مما يلي :
أ ) ](3)_@×( !3؛ )[$÷(9)_@= ](!3؛)@×( !3؛ )[$÷] (3)@ [_@=](!3؛)@+! [$÷( !3؛ )$= ](!3؛)# [$÷( !3؛ )$
= ( !3؛ )@!÷( !3؛ )$ = ( !3؛ )*
ب ) ]( !2؛ )@ × ( !4؛ )@[ ÷ ( !8؛ )_@= ]( !2؛ )@ × (( !2؛)@)@ [ ÷ ] ( !2؛ )# [_@
] ( !2؛ )@ × ( !2؛)$ [÷( !2؛ )_^= ( !2؛)^ ÷( !2؛ )_^= ( !2؛)@!
( 3 – 1 ) معادلات الدرجة الأولى في ن :
1 ) اكتب العبارة الرياضية التي تمثل كلاً من الجمل التالية :
أ ) عدداً ل مضروباً في 4 ومطروحاً من الناتج 8 ، والنتيجة 20 ( 4ل – 8 = 20 ) .
ب ) عدداً ص مضروباً في 5 والنتيجة 25 . ( 5ص = 25 ) .
جـ ) نصف 3ص مضافاً إلية ربع ، يساوي خمس 2ص مطروحاً منه 1 .
( !2؛ × 3ص + !4؛ = !5؛ ×2ص – 1 ) تت ( #2؛ ص + !4؛ = @5؛ ص – 1 )
د ) عدداً س مضافاً إلية 3 . ( س + 3 ) .
هـ ) عدداً ع أضيف إليه 8 والنتيجة 10 . ( ع + 8 = 10 )
و ) 5ع مضاف إلية ربع العدد 20 . ( 5ع + !4؛ × 20 ) تت (( 5ع + (4؛@؛ ) تت (( 5ع + 5 )
2 ) زاوج بين العبارات اللفظية التالية في المجموعة الأولى والعبارات الجبرية
المناسبة لها في المجموعة الثانية :
المجموعة الأولى المجموعة الثانية
إذا كان عمر أحمد س ، كم عمرة قبل 5 سنوات ؟ 5س
إذا كان ثمن القلم الواحد س ، كم ثمن 5 أقلام ؟ 15س
إذا كان ثمن كيس الأرز 3س ، فما ثمن 5 أكياس ؟ 17 – 2س
قام 17 طالب برحلة فكم يكون عددهم إذا رجع منهم 2س ؟ س + 24
وزن طلال 2كغم ويزيد وزن ياسر 24 كغم عن وزن طلال فكم وزن ياسر ؟ س – 5
3 ) ضع كلاً من المعادلات التالية على الصورة : اس = ب
أ ) -2س + 9س – 7 = 0 تت 7س = 7
ب ) 7س – 3( 2س + 4 ) = 7 تت 7س – 6س – 12 = 7
تت 7س -6س = 7 + 12 تت س = 19
جـ ) س ؛_4؛ ؛%؛ = # ؛س؛ ؛+3؛ ؛@؛ ( بضرب طرفين في وسطين )
3 ( س – 5 ) = 4 ( 3 س + 2 )
تت 3س – 15 = 12س + 8 تت 3س -12س = 8 + 15
تت – 9س = 23 تت 9س = - 23
د ) 0،4 س – س = 5 ( 0،06 – 2س )
تت 0،4 س – س = 3،0 – 10س
تت 0،4 س – س + 10س = 3،0 تت 0،4 س + 9س = 3،0 تت $0؛ 1؛ س+ 9س = #0؛ 1؛
تت $0؛ 1؛ س+ (0؛)1؛ س = #0؛ 1؛ تت $0؛)1؛ س = #0؛ 1؛
4 ) حل المعادلات التالية في ن :
أ ) 5 ( س + 3 ) = 6 تت 5س + 15 = 6 تت 5س = 6 – 15 تت 5س = - 9 تت س =- )5؛
ب ) 2 ( 11 – ص ) = 0 تت 22 – 2ص = 0 تت – 2ص = - 22 تت ص = 11
جـ ) 2 + 3ع = 5ع – 9 تت 3ع – 5ع = - 9 – 2 تت – 2ع = - 11 تت ع = !2؛!؛
د ) 4 – 2( 5س – 3 ) = 15 تت 4 – 10س + 6 = 15 تت – 10س = 15 – 4 – 6
تت – 10س = 5 تت س = - !؛2
هـ ) @ 5س؛ = !؛3 تت 2س × 3 = 5×1 تت 6س = 5 تت س = %؛6
و ) # 2س؛ = !؛4 تت 3س × 4 = 2×1 تت 12س = 2 تت س = !؛6
ز ) ^5؛ص؛ = @؛3 تت 6ص × 3 = 5×2 تت 18ص = 10 تت س = %؛9
ح ) %7؛ع؛؛ = #4؛ تت 5ع × 4 = 7 × 3 تت 20ع = 21 تت ع = !0؛@2؛
ط ) # ؛ س؛2 +؛ ؛!؛ = #4؛ تت 4( 3س + 1 ) = 2 × 3 تت 12س + 4 = 6 تت 12س = 6 – 4
تت 12س = 2 تت س = !6؛
ي ) %؛ س؛7 +؛ ؛!؛ = 2 ( س + 1 ) تت 5س + 1 = 14 ( س + 1 ) تت 5س + 1 = 14س + 14
5س – 14س = 14 – 1 تت – 9س = 13 تت س = - #9؛!؛
ك ) ص؛+؛2 ؛$؛ - ص؛ _؛5؛$؛ = ص؛+؛5 1؛&؛ تت %؛ص؛ 0+1؛ ؛(؛@؛ - @؛ص؛ 0_1؛ ؛*؛ = ص؛+؛5 ؛ 1؛&؛ تت #؛ص؛؛؛؛ 0+1؛ ؛*؛@؛ = ص؛+؛5 ؛ 1؛&؛
تت 15(3ص+28)=10(ص+7) بحل المعادلة ينتج : ص = - 10
ل ) $؛ر؛3+؛ ؛#؛ + @؛ر؛2+؛ ؛%؛؛ = 0 تت $؛ر؛3+؛ ؛#؛ = - @؛ر؛2+؛ ؛%؛؛ تت 2(4ر+3) = - 3(2ر+5)
تت 8ر+6 = - 6ر – 15 تت 8 ر + 6ر = - 15 – 6 تت 14ر = - 21 تت ر = - #2؛
5 ) كم يجب أن تكون قيمة أ في المعادلة : اس – (ا– 1 ) س = 4ا ، لكي يكون س=1 حلاً لها ؟
بالتعويض في المعادلة بالقيمة : س=1 ينتج :
ا×1 – (ا– 1 )×1 = 4ا تت ا– (ا – 1 ) =4ا
تت ا– ا + 1 = 4ا تت 4ا = 1 تت ا= !4؛
( 3 – 2 ) مسائل حسابية :
1 ) مثلث متطابق الضلعين محيطة يساوي 40سم ، احسب طول كلاً من الضلعين المتطابقين ،
إذا كان طول الضلع الثالث يساوي 16سم .
نفرض أن طول الضلعين المتساويين هو : س
محيط المثلث = طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني + طول الضلع الثالث ( بالتعويض عن القيم )
40 = س + س + 16 تت 40 – 16 = 2س تت 2س = 24 تت س = 12سم
إ طول الضلعين المتطابقين = 12سم .
للتأكد : 12 + 12 + 16 = 40
2 ) اشترك ريان وأسامة في عمل مشروع خيري ، فإذا علمت أن ما دفعة ريان @3؛ مما دفعة أسامة ،
وأن تكلفة المشروع الخيري 9000 ريال ، احسب مقدار ما دفعة كلاً منهما .
نفرض أن ما دفعة أسامة = س
بالتالي يكون ما دفعة ريان = @3؛ س ( نكون المعادلة )
س + @3؛ س = 9000 تت (1+ @3؛ )س = 9000 تت ( #3؛ + @3؛ )س = 9000
تت %3؛ س = 9000 تت س = (؛(؛()5؛خ؛#؛ تت س = 5400
ما دفعة أسامة = 5400 ريال ، ما دفعة ريان = @3؛ (5400 ) = 3600 ريال
للتأكد : 5400 + 3600 = 9000 ريال .
3 ) مع محمد 240 ريالاً ، ومع خالد 100 ريال ، يوفر كلاً منهما 5 ريالات يومياً ،
بعد كم يوم يصبح ما مع خالد نصف ما مع محمد ؟
نفرض أن عدد الأيام = س فيكون مجموع ما ينقص من المبلغين بعد س يوم هو 5س
من ذلك تتكون المعادلة : ( 100 + 5س ) = !2؛ (240 + 5س ) تت100 + 5س =120+ %2؛ س
تت 5س - %2؛ س =120-100 تت %2؛ س =20 تت س = 8
بعد 8 أيام يصبح ما مع خالد نصف ما مع محمد
4 ) مجموع عددين نسبيين يساوي #5؛ . ما هما العددان إذا كان أحدهما يساوي #4؛ الآخر ؟
نفرض أن العدد الأول = س ، بالتالي يكون العدد الثاني = #؛4 س ( نكون المعادلة )
س + #؛4 س = #5؛ تت ( 1 + #؛4 )س = #5؛ تت ( $4؛ + #4؛ )س = #5؛ تت &4؛ س = #5؛ تت س = @5؛!3؛
إ العدد الأول = @5؛!3؛ ، العدد الثاني = #؛4× @5؛!3؛ = )5؛ 3؛ ، للتأكد : @5؛!3؛ + )5؛ 3؛ = !5؛@3؛ = #5؛
5 ) اشترى تاجر كمية من القماش ، ثلثاها من الحرير،والثلث الباقي من القطن،دفع متر الحرير 24 ريالاً
وثمن متر القطن 16 ريالاً ، كم متراً اشترى التاجر من كل نوع إذا كان ثمن القماش 1600 ريال ؟
نفرض أن عدد الأمتار التي اشتراها التاجر = س
ثلثها من الحرير الذي ثمن متره 24 تت @3؛ س × 24 = 16س
ثلثها من القطن الذي ثمن متره 16 تت !3؛ س × 16 = ^3؛!؛ س
تتكون المعادلة : 16س + ^3؛!؛ س = 1600 تت س = 75 متر
عدد أمتار الحرير = @3؛ × 75 = 50 متر ، عدد أمتار القطن = !3؛ × 75 = 25 متر
6 ) اقتسم ثلاث أشخاص مبلغاً من المال، أخذ الأول حصة تقل عن ثلثي المبلغ 2500 ريال ، وأخذ الثاني
ربع المبلغ،وأخذ الثالث حصة تقل عن نصف المبلغ بمقدار1500ريال كم كان المبلغ؟وكم حصة كلاً منهم؟
نفرض أن مقدار المبلغ = س ريال
حصة الأول = @3؛ س – 2500 ، حصة الثاني = !4؛ س ، حصة الثالث = !2؛ س – 1500 (نكون معادلة)
س = @3؛ س – 2500 + !4؛ س+ !2؛ س – 1500 تت س= &2؛!1؛ س – 400 تت س- &2؛!1؛ س= – 400
تت - %2؛ 1؛ س= – 400 تت س = 9600 ريال . ( مقدار المبلغ ككل )
فتكون : حصة الأول= @3؛ س – 2500 = @3؛ × 9600 – 2500 = 3900 ريال .
حصة الثاني = !4؛ س = !4؛ × 9600 = 2400 ريال
حصة الثالث = !2؛ س – 1500= !2؛ × 9600 – 1500= 3300 ريال .
7 ) لدى مزارع سلة من البيض باع ربعها ، وكُسر من الباقي 4 بيضات ، فأصبح ما بقي في السلة
يعادل %8؛ ما كان فيها ، كم بيضة كانت في السلة ؟ نفرض أن عدد البيض الذي كان في السلة = س
س - !4؛ س – 4 = %8؛ س تت #4؛ س - %8؛ س = 4 تت !8؛ س = 4 تت س = 32
عدد البيض = 32 بيضة .
8 ) الفرق بين عمر أب وعمر أبنه الآن 25 سنة ، بعد 8 سنوات يصبح !7؛ عمر الأب مساوياً
لـ !2؛ عمر الابن ، فما هو عمر كلاً منهما الآن ؟
نفرض أن عمر الابن = س ، بالتالي يكون عمر الأب = س + 25
بعد 8 سنوات يصبح :عمر الابن = س +8 ، عمر الأب = س + 25+8 = س + 33 (نكون المعادلة)
!7؛ ( س + 33 ) = !2؛ ( س + 8 ) تت !7؛ س + #7؛#؛ = !2؛ س + 4 تت !7؛ س - !2؛ س = 4 - #7؛#؛
تت - %4؛ 1؛ س = - %7؛ تت س = 2
إ عمر الابن الآن = 2 (سنتين ) ، وعمر الأب الآن = 2 + 25 = 27 سنة
9 ) ما العدد الصحيح الذي إذا أضفناه إلى حدي الكسر #7؛ أصبح الكسر مكافئ للكسر @3؛ ؟
نفرض أن هذا العدد هو س فينتج :
#؛7 +=؛ ؛س سس؛ = @3؛ تت 3 ( 3 + س ) = 2 ( 7 + س ) تت 9 + 3 س = 14 + 2 س
3س – 2س = 14 – 9 تت س = 5
10 ) مستطيل طول محيطة 360 متر ، إذا كان عرضه يقل عن طوله بـ10 أمتار،فاحسب مساحته .
نفرض أن طول المستطيل = س بالتالي يكون عرضه = س – 10
محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)تت360=2(س + س – 10 ) تت 360=4س – 20
تت 4س=380 تت س=95 ( الطول = 95 م ، العرض = 95 – 10 = 85 م )
مساحة المستطيل = الطول × العرض = 95 × 85 = 8075 م@
11 ) منطقة على شكل دائرة محيطها 62،8 متر ، أوجد طول نصف قطر الدائرة .
محيط الدائرة = 2 × ط × نق حيث : ط = 3،14
62،8 = 2 × 3،14 × نق تت 62،8 = 6،28 × نق تت نق = *8؛لم2لي؛@؛^؛6
بضرب البسط والمقام في 100 للتخلص من الفاصلة ينتج :
نق = (8؛*؛2@؛6^؛ تت نق = 10 متر .
12 ) منطقة على شكل مثلث طول قاعدة 24سم،أوجد ارتفاع المثلث إذا كانت مساحة المنطقة = 210سم@
مساحة المثلث = ( طول القاعدة × طول الارتفاع ) ÷ 2
نفرض أن ارتفاع المثلث = س ( بالتعويض بالقيم في القانون ينتج )
210 = ( 24 × س ) ÷ 2 تت 210 = 24س ÷ 2 تت 210 = 12س
س = (؛!2؛@1؛ = %2؛#؛ = !2؛ 17 سم .
( 4 – 1 ) حقائق حول الزوايا :
1 ) في الشكل التالي : س ص ] ع ط ، م ن قاطع لهما بحيث أن : م ؟ 2 = 120 ْ .
احسب قياس الزوايا التالية بدون استعمال المنقلة :
م ؟ 1 = 180 ْ - م ؟ 2 = 180 ْ - 120 ْ = 60 ْ ( حيث أنهما زاويتان متكاملتان )
م ؟ 4 = م ؟ 2 = 120 ْ ( بالتقابل بالرأس )
ن ؟ 1 = م ؟ 1 = 60 ْ ( لأنهما زاويتان متناظرتان )
ن ؟ 2 = م ؟ 2 = 120 ْ ( لأنهما زاويتان متناظرتان )
2 ) م نقطة تنتمي للمستقيم س ص .
أ ) ارسم ] م ع ، ] م ط من جهتي س ص بحيث أن : ع
س م عظ = ص م طظ = 30 ْ س 30 × م ص
ط
ب ) أثبت أن : ] م ع ، ] م ط جزءان من مستقيم واحد .
بما أن : س م عظ = ص م طظ = 30 ْ
وبما أن :رأسهما مشترك وهو م
وكذلك أحدى أضلاعهما وهو ] م س امتداده هو ضلع للأخرى وهو ] م ص
إذاً هما زاويتان متقابلتان بالرأس أي أن : ضلع أحدهما هو امتداد لضلع الأخرى
أي أن : ] م ع ، ] م ط جزءان من مستقيم واحد .
جـ ) قارن بين : ع م صظ = ط م سظ .
بما أن : س م عظ = 30 ْ ، إذاً : = ع م صظ = 180 ْ – 30 ْ = 150 ْ
وبما أن : ص م طظ = 30 ْ ، إذاً : = ط م سظ = 180 ْ – 30 ْ = 150 ْ
إذاً : ع م صظ = ط م سظ =150 ْ ( بالتقابل بالرأس )
3 ) في الشكل التالي : بظ ب ؟1 = د 1؟ ، أثبت أن :
أ ) س ص ] ع ط .
بظ بما أن : ب ؟1 وَ د 1؟ زاويتان متساويتان وهما متناظرتان بالنسبة لمستقيمين وقاطع
إذاً : المستقيمان متوازيان ، أي أن : س ص ] ع ط .
ب ) د 1؟ وَ ب ؟ 2 متكاملتان .
بما أن : ب 1؟ وَ ب ؟ 2 متكاملتان وَ بظ ب ؟1 = د 1؟ إذاً : د 1؟ وَ ب ؟ 2 متكاملتان .
4 ) في المثلث ا ب ج منصفا الزاويتين التين رأسهما ب ،ج يتقاطعان في ن .من ن أنشأنا مستقيماً موازٍ
للمستقيم ب ج ، يتقاطع مع ] ا ب [ ، ] ا ج [ في النقطتين د ، ه على التوالي . ا
أ ) أثبت أن المثلث د ب ن متطابق الضلعين .
د ن هـ
ب جـ
ب ) أثبت أن المثلث هـ ن جـ متطابق الضلعين .
( تُحل بنفس خطوات حل فقرة أ )
5 ) في الشكل التالي : د هـ ] ب جـ ، د ا ب ظ = 55 ْ ، ه ا ج ظ = 40 ْ بدون استخدام المنقلة
أوجد قياسات زوايا المثلث اب ج .
بما أن : د هـ ] ب جـ ، اب قاطع لهما ، إذاً : د ا ب ظ = ب ؟ = 55 ْ ( بالتبادل )
كذلك ا ج قاطع لهما ، إذاً : ه ا ج ظ = ج ؟ = 40 ْ ( بالتبادل )
د ا ب ظ + ه ا ج ظ + ا ؟ = 180 ْ ( زوايا متكاملة )
55 ْ + 40 ْ + ا ؟ = 180 ْ تت 95 ْ + ا ؟ = 180 ْ تت ا ؟ = 180 ْ – 95 ْ تت ا ؟ = 85 ْ
6 ) في الشكل التالي :ا ب ] ج د ، ا ج ] د ه ، أثبت أن : ا ؟ = د ؟ .
بما أن : ا ب ] ج د ، ج ا قاطع لهما ، ا ؟ = ا ج د ظ ( بالتبادل ) تت (1)
وبما أن : ا ج ] د ه ، د ج قاطع لهما ، د ؟ = ا ج دظ ( بالتبادل ) تت (2)
من (1) ، (2) : ا ؟ = د ؟ .
7 ) في الشكل التالي : س ص ] ع ط ، م ن ، هـ و قاطعان لهما ، م ن عع ع ط ، ن 6؟ 1 + و 7؟ = 220 ْ
- ما قياس الزاوية و 7؟ ؟
ن 6؟ 1 = 90 ْ ( زاوية قائمة ناتجة من تعامد المستقيمين م ن عع ع ط ) و 7؟ = 220 ْ – 90 ْ = 130 ْ
- ما هي الزوايا التي قياس كلاً منها 130 ْ ؟
و 5؟ ( بالتقابل بالرأس مع و 7؟ ) ، هـ 3؟ ( بالتناظر مع و 7؟ ) ، هـ 1؟ ( بالتبادل مع و 7؟ )
- ما قياس الزاوية و 6 ؟ ؟
و 6 ؟ = 180 ْ - و 5؟ = 180 ْ – 130 ْ = 50 ْ
- ما هي الزوايا التي قياس كل منها 50 ْ ؟
و 8؟ ( بالتقابل بالرأس مع و 6؟ ) ، هـ 2؟ ( بالتناظر مع و 6؟ ) ، هـ 4؟ ( بالتبادل مع و 6؟ )
- ما قياس الزاوية م 0 ؟1 ؟ 90 ْ ( لأنها ناتجة عن تعامد ن م ، س ص )
8 ) في المثلث ا ب ج ، | ا ب | = | ا ج | ، من نقطة د على ] أ ب [ أنشأنا د هـ مستقيماً موازٍ
للمستقيم ب جـ يتقاطع مع ] أ جـ [ في هـ . ا
أ ) أذكر الزوايا المتساوية على الرسم مع ذكر السبب .
ب ؟ = ج ؟ ( لأنهما زاويتان في مثلث تقابلان ضلعين متطابقين ) د هـ
د 1؟ = د 3؟ ، د 4؟ = د 2؟ ، ه 1؟ = ه 3؟ ، ه 4؟ = ه 2؟ ( بالتقابل بالرأس ) ب جـ
ب ؟ = د 2؟ ، ج ؟ = ه 2؟ ( بالتناظر )
ب ؟ = د 4؟ ، ج ؟ = ه 4؟ ( بالتبادل )
ب ) أثبت أن : أ د هـ مثلث متطابق الضلعين .
بما أن : ب ؟ = ج ؟ ، ب ؟ = د 2؟ ، ج ؟ = ه 2؟ إ د 2؟ = ه 2؟
وهما زاويتان داخليتان في المثلث أ د هـ
ومن المعلوم أنه : إذا تساوت زاويتان من مثلث فإن المثلث يكون متطابق الضلعين .
إذاً : أ د هـ مثلث متطابق الضلعين .
9 ) في الشكل التالي : س ص ] ع ط ، س ع ] ص ط . إذا كانت ص؟ 1 = 35 ْ
فأوجد قياس كلاً من الزوايا التالية بدون استعمال المنقلة .
ص؟ 2 = 180 ْ – 35 ْ = 145 ْ ، س؟ 3 = ص؟ 1 = 35 ْ
ع ؟ 4= ص؟ 2 = 145 ْ ، ط ؟ 5 = ص؟ 1 = 35 ْ
( 1 – 2 ) المضلعات :
1 ) ارسم خطوطاً مضلعة عدد أضلاعها 2،3 ، 4 ، 5 ، 6 احسب في كل مرة طول الخط الذي رسمته .
( في هذا السؤال لك الحرية المطلقة في رسم المضلعات بأي شكل كان وبأي تسمية وبأي طول )
2 ) حدد المضلع من بين الأشكال التالية :
الشكل الأول والشكل الثالث فقط هي التي تمثل مضلعات .
3 ) ارسم خطاً مضلعاً ا ب ج د ه ا . كم عدد أضلاعه ؟ كم عدد رؤوسه ؟ كم عدد زواياه ؟
ماذا نسميه ؟ احسب محيطه . ا ب
ه
د ج
عدد أضلاعه = 5 أضلاع ، عدد رؤوسه = 5 رؤوس ، عدد زواياه = 5 زوايا
نسميه : مضلع خماسي أو مضلع خماسي منتظم إذا كانت أطوال أضلاعه التي رسمناها متساوية .
محيطة = | ا ب | + | ب ج | + | ج د | + | د ه | + | ه ا | ( مجموع أطوال أضلاعه )
4 ) تحقق بالقياس من أن المضلع السداسي في الشكل المقابل سداسي منتظم .
بعد قياس أضلاعه نجدها جميعها متطابقة وتساوي سم .
أ ) ما قياس الزاوية الواحدة من هذا المضلع ؟
نقيس أحدى زوايا المضلع باستخدام المنقلة فنجدها تساوي 120 ْ .
ب ) احسب محيطة ؟
محيطة = | ا ب | + | ب ج | + | ج د | + | د ه | + | ه و | + | و ا|
أو نقول : عدد الأضلاع × طول الضلع الواحد = 6 × 2،2 = 13،2 سم .
5 ) حديقة على شكل خماسي منتظم طول ضلعها 15 م . احسب محيطها .
المحيط = عدد الأضلاع × طول الضلع الواحد = 5 × 15 = 75 م
6 ) سارت سيارة على خط مضلع كما هو مبين في الشكل . احسب المسافة التي قطعتها السيارة .
المسافة = 5،6 + 4 + &0؛ 1؛ 3 + 3،5 + 5 = 14،1 + &0؛ 1؛ 3 = 14،1 + &0؛#1؛
= 18،1 + 3،7 = 21،8 كلم
( 4 – 3 ) مجموع زوايا مضلع :
1 ) احسب ذهنياً قياس الزاوية المجهولة في كلاً مما يلي :
- ب ؟ = 180 ْ – ( 60 ْ + 50 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
- و ؟ = 180 ْ – ( 70 ْ + 40 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
- س؟ = 180 ْ – ( 57 ْ + 38 ْ ) = 180 ْ – 95 ْ = 85 ْ
- و ؟ = 180 ْ – ( 70 ْ + 40 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
الشكل رباعي فيكون مجموع زواياه = ( 4 – 2 ) × 180 ْ = 2 × 180 ْ = 360 ْ
د ؟ = 360 ْ – ( 88 ْ + 113 ْ+ 67 ْ ) = 360 ْ – 268 ْ = 92 ْ
- ن ؟ = 360 ْ – ( 48 ْ + 121 ْ+ 56 ْ ) = 360 ْ – 225 ْ = 135 ْ
2 ) مجموع قياس زاويتين في مثلث 110 ْ ، فما قياس الزاوية الثالثة ؟
قياس الزاوية الثالثة = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
3 ) ما قياس زاوية مضلع خماسي منتظم ؟
مجموع قياس زواياه الداخلية = ( 5 – 2 ) × 180 ْ = 3 × 180 ْ = 540 ْ
قياس الزاوية الواحدة = 540 ْ ÷ 5 = 108 ْ
4 ) ا ب ج د ه و مضلع سداسي فيه ، ا ؟ = 105 ْ ، ب ؟ = 140 ْ ، ج ؟ = 122 ْ ،
د ؟ = 110 ْ ، ه ؟ = 95 ْ . احسب قياس و؟ ؟
مجموع الزوايا الداخلية للسداسي = ( 6 – 2 ) × 180 ْ = 4 × 180 ْ = 720 ْ
و؟ = 720 ْ – ( 105 ْ + 140 ْ + 122 ْ + 110 ْ + 95 ْ ) = 720 ْ – 572 ْ = 148 ْ
5 ) إذا كان مجموع قياسات زوايا مضلع 1800 ْ ، فكم عدد أضلاعه ؟
مجموع قياسات زوايا مضلع عدد أضلاعه ن = ( ن – 2 ) × 180 ْ ( بالتعويض )
1800 ْ = ( ن – 2 ) × 180 ْ تت 1800 ْ = 180 ْن – 360 ْ تت 180 ْن = 1800 ْ + 360 ْ
تت 180 ْن = 2160 ْ تت ن = 12 ضلع
6 ) في الشكل المقابل ب ؟ = 90 ْ ، س ج اظ = 130 ْ ، ما قياس ا ؟ ؟
الزاوية س ج اظ هي زاوية خارجية من المثلث
بما أن : الزاوية الخارجية في مثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين الغير مجاورة لها .
إ س ج اظ = ا ؟ + ب ؟ ( بالتعويض )
130 ْ = ا ؟ + 90 ْ تت ا ؟ = 130 ْ – 90 ْ تت ا ؟ = 40 ْ
7 ) حسب الزوايا المعطاة في الشكل المقابل ، ما قياس زوايا المضلع الرباعي اب ج د ؟
في المثلث وج ه ، ج ؟ = 180 ْ – ( 60 ْ + 50 ْ ) = 180 ْ – 110 ْ = 70 ْ
وج ه ظ = بج د ظ = 70 ْ ( بالتقابل بالرأس )
اب ج د رباعي مجموع زواياه = 360 ْ
إ ب ؟ = 360 ْ – ( 100 ْ + 80 ْ + 70 ْ ) = 360 ْ – 250 ْ = 110 ْ
8 ) في الشكل المقابل اب ج د ه و ، سداسي منتظم ، ما قياس الزاوية س ه و ظ ؟
مجموع الزوايا الداخلية في السداسي = ( 6 – 2 ) × 180 ْ = 4 × 180 ْ = 720 ْ
وبما أنه سداسي منتظم فإن زواياه متساوية القياس
وقياس كل واحدة منها = 720 ْ ÷ 6 = 120 ْ
وحيث أن : س ه و ظ زاوية خارجية من السداسي فإن قياسها يكون ،
س ه و ظ = 180 ْ – 120 ْ = 60 ْ
اللصف تاني متوسط